कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = - \frac{1}{x}$ .फिर $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , तो $x^{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = - \frac{1}{x}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- \frac{1}{x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

चरण 2.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x}$ है.

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3.3

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3.3.2

$x^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

चरण 2.1.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.5.1

$\frac{1}{x}$ को $0$ से गुणा करें.

$x^{- 2} + 0$

चरण 2.1.3.5.2

$x^{- 2}$ और $0$ जोड़ें.

$x^{- 2}$

चरण 2.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{2}}$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = - \frac{1}{x}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

चरण 2.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

चरण 2.3.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 1$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = - \frac{1}{x}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

चरण 2.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

चरण 3

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

चरण 4

$- \frac{1}{t}$ पर और $- 1$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

चरण 5.1.2

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

चरण 5.1.3

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

चरण 5.2

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{t}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

चरण 5.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$e^{- 1}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{- 0} - e^{- 1}$

चरण 5.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{0} - e^{- 1}$

चरण 5.3.2.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1 - e^{- 1}$

चरण 5.3.2.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 - \frac{1}{e}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$1 - \frac{1}{e}$

दशमलव रूप:

$0.63212055 \dots$