कैलकुलस उदाहरण

$\int_{4}^{\infty} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{4}^{t} \frac{1}{{(x - 3)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = x - 3$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = x - 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x - 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = x - 3$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 - 3$

चरण 2.3

$4$ में से $3$ घटाएं.

$u_{lower} = 1$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = x - 3$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = t - 3$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = t - 3$

चरण 2.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

चरण 3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$u^{\frac{3}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 3.2

घातांक को ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 3.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$\frac{3}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

चरण 3.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

चरण 3.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t - 3} u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{3}{2}}$ का समाकलन $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ है.

$lim_{t \to \infty} - 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{t - 3}$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$t - 3$ पर और $1$ पर $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} (- 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1$

चरण 5.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} - 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + 2$

चरण 6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- lim_{t \to \infty} 2 {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

चरण 6.1.2

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$- 2 lim_{t \to \infty} {(t - 3)}^{- \frac{1}{2}} + lim_{t \to \infty} 2$

चरण 6.1.3

सीमा तर्क को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t - 3)}^{\frac{1}{2}}} + lim_{t \to \infty} 2$

चरण 6.1.3.2

${(t - 3)}^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{t - 3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t - 3}} + lim_{t \to \infty} 2$

चरण 6.2

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{\sqrt{t - 3}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$- 2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} 2$

चरण 6.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$2$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- 2 \cdot 0 + 2$

चरण 6.3.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$0 + 2$

चरण 6.3.2.2

$0$ और $2$ जोड़ें.

$2$