कैलकुलस उदाहरण

$\ln (| \cos (\frac{π}{x}) |)$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = | \cos (\frac{π}{x}) |$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $| \cos (\frac{π}{x}) |$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

चरण 1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $| \cos (\frac{π}{x}) |$ से बदलें.

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = | x |$ और $g (x) = \cos (\frac{π}{x})$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\cos (\frac{π}{x})$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

चरण 2.2

$u_{2}$ के संबंध में $| u_{2} |$ का व्युत्पन्न $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ है.

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

चरण 2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (\frac{π}{x})$ से बदलें.

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

चरण 3

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ को $\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) | | \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

चरण 4

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

चरण 5

$\cos (\frac{π}{x})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

चरण 6

$\cos (\frac{π}{x})$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos^{1} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

चरण 7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| {\cos (\frac{π}{x})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

चरण 8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

चरण 9

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \frac{π}{x}$ है.

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चरण 9.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $\frac{π}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

चरण 9.2

$u_{3}$ के संबंध में $\cos (u_{3})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{3})$ है.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

चरण 9.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $\frac{π}{x}$ से बदलें.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

चरण 10

अवकलन करें.

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चरण 10.1

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ और $\sin (\frac{π}{x})$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

चरण 10.2

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{π}{x}$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 10.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 10.3.1

$π$ और $\frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ को मिलाएं.

$- \frac{π (\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}))}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 10.3.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 10.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- x^{- 2})$

चरण 10.5

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 10.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

चरण 10.5.2

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

चरण 10.5.3

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ और $x^{- 2}$ को मिलाएं.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}) x^{- 2}}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

चरण 10.5.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) | x^{2}}$

चरण 11

सरल करें.

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चरण 11.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} | \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

चरण 11.2

निरपेक्ष मान से गैर-ऋणात्मक शब्द हटा दें.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

चरण 11.3

$\cos (\frac{π}{x})$ और $\cos^{2} (\frac{π}{x})$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

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चरण 11.3.1

$π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})$ में से $\cos (\frac{π}{x})$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

चरण 11.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 11.3.2.1

$x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})$ में से $\cos (\frac{π}{x})$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

चरण 11.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

चरण 11.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos (\frac{π}{x})}$

चरण 11.4

अलग-अलग भिन्न

$\frac{π}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$

चरण 11.5

$\frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$ को $\tan (\frac{π}{x})$ में बदलें.

$\frac{π}{x^{2}} \tan (\frac{π}{x})$

चरण 11.6

$\frac{π}{x^{2}}$ और $\tan (\frac{π}{x})$ को मिलाएं.

$\frac{π \tan (\frac{π}{x})}{x^{2}}$