कैलकुलस उदाहरण

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 2 \sec (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \sec (t) \tan (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \sec (t)$ पर लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.2

$4 \sec^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.4

$4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.6

$4 \tan^{2} (t)$ को ${(2 \tan (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.2

$2 \sec (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2 \sec (t) \tan (t)$ में से $2 \sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

चरण 2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

चरण 3

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

चरण 4

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

चरण 5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

चरण 7

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

चरण 8

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

चरण 10

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

चरण 11

चूंकि $\tan (t)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (t)$ है, $\sec^{2} (t)$ का समाकलन $\tan (t)$ है.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

चरण 12

$- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ और $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ को मिलाएं.

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

चरण 13

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{π}{3}$ पर और $0$ पर $- t + \tan (t)$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

चरण 13.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

चरण 13.2.2

$0$ और $\tan (0)$ जोड़ें.

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\tan (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\sqrt{3}$ है.

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

चरण 14.2

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

चरण 14.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

चरण 14.4

$- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ और $0$ जोड़ें.

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

चरण 15.2

$2 (- \frac{π}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

चरण 15.2.2

$- 2$ और $\frac{π}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

चरण 15.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

चरण 16

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

दशमलव रूप:

$1.36970651 \dots$

चरण 17