कैलकुलस उदाहरण

$\ln (1 + \frac{a}{x})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + \frac{a}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + \frac{a}{x}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \frac{a}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ है.

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

चरण 2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

चरण 2.4

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{a}{x}$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 2.5

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$a$ और $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ को मिलाएं.

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 2.5.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})$

चरण 2.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ और $x^{- 2}$ को मिलाएं.

$- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}$

चरण 2.7.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

चरण 3.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

चरण 3.2.2

$\frac{a}{x}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}$

चरण 3.2.3

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$a x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}$

चरण 3.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}$

चरण 3.2.3.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

चरण 3.2.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

चरण 3.2.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}$

चरण 3.2.3.2.5

$a x$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{a}{x^{2} + a x}$

चरण 3.3

$x^{2} + a x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{a}{x \cdot x + a x}$

चरण 3.3.2

$a x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{a}{x \cdot x + x a}$

चरण 3.3.3

$x \cdot x + x a$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{a}{x (x + a)}$