कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x}{x^{2} + x^{4} + 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2} + x^{4} + 1$ .फिर $d u = (4 x^{3} + 2 x) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = (2 x^{3} + x) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{2} + x^{4} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{2} + x^{4} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x^{4} + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x^{4} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$2 x + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 1.1.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 4 x^{3} + 0$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

$2 x + 4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$2 x + 4 x^{3}$

चरण 1.1.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 x^{3} + 2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{2} + x^{4} + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2} + 0^{4} + 1$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 0^{4} + 1$

चरण 1.3.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

चरण 1.3.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 1.3.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{2} + x^{4} + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{2} + 1^{4} + 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 1^{4} + 1$

चरण 1.5.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 1 + 1$

चरण 1.5.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2 + 1$

चरण 1.5.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 3$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{2 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{3}$

चरण 5

$3$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

चरण 6.2

$\frac{1}{2}$ और $\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})}{2}$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $3$ के बीच की दूरी $3$ है.

$\frac{\ln (\frac{3}{| 1 |})}{2}$

चरण 7.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{\ln (\frac{3}{1})}{2}$

चरण 7.3

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\ln (3)}{2}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\ln (3)}{2}$

दशमलव रूप:

$0.54930614 \dots$

चरण 9