कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x$

चरण 1

$t$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{2 x} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 t$

चरण 2.3

$x$ के लिए $u = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

चरण 2.4

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 0$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2 t$

$u_{upper} = 0$

चरण 2.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 3

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} \int_{2 t}^{0} e^{u} d u$

चरण 5

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} e^{u}]_{2 t}^{0}$

चरण 6

$\frac{1}{2}$ और $e^{u}]_{2 t}^{0}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to - \infty} \frac{e^{u}]_{2 t}^{0}}{2}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$0$ पर और $2 t$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{(e^{0}) - e^{2 t}}{2}$

चरण 7.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{2 t}}{2}$

चरण 8

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{2 t}$

चरण 8.1.2

जैसे-जैसे $t$ $- \infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

चरण 8.1.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

चरण 8.2

चूँकि घातांक $2 t$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{2 t}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{1}{2} (1 - 0)$

चरण 8.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$1$ में से $0$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 8.3.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$0.5$