कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

चरण 2

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

चरण 2.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

चरण 2.2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

चरण 2.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

चरण 2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $e^{- x} + x e^{- x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

चरण 2.2.3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

चरण 2.2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{- x} + x e^{- x}$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

चरण 2.2.4

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ को $\frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

चरण 2.2.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{- x} + x e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

चरण 2.2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

चरण 2.2.5.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ $a^{u_{3}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

चरण 2.2.5.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

चरण 2.2.6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

चरण 2.2.6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

चरण 2.2.6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

चरण 2.2.6.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

चरण 2.2.6.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

चरण 2.2.7

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- x}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.8

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{4}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.8.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ $a^{u_{4}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.8.3

$u_{4}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.9

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.9.2

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.9.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.9.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.9.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.9.4

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

चरण 2.2.9.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.5.1

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

चरण 2.2.9.5.2

$- e^{- x}$ और $e^{- x}$ जोड़ें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}) + 0)$

चरण 2.2.9.5.3

$x (- e^{- x})$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}))$

चरण 2.2.9.5.4

$x$ और $\frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x})$

चरण 2.2.9.5.5

$\frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ और $e^{- x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

चरण 2.2.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.1

$e^{- x} + x e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.1.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

चरण 2.2.10.1.2

$x e^{- x}$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

चरण 2.2.10.1.3

$e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ में से $e^{- x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

चरण 2.2.10.2

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.10.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

चरण 2.2.10.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

चरण 2.2.10.3

गुणनखंडों को $- \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$

चरण 3

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

चरण 4

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

चरण 4.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

चरण 4.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- x}{1 + x}$

चरण 4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{x}{1 + x}$