कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt[5]{\frac{5 x}{3 x - 2}}$

चरण 1

$\sqrt[5]{\frac{5 x}{3 x - 2}}$ को ${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ और $g (x) = \frac{5 x}{3 x - 2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{5 x}{3 x - 2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{5}$ है.

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

चरण 4.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{5 x}{3 x - 2}$ से बदलें.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

चरण 4.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

चरण 4.3

$- 1$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

चरण 4.5.2

$1$ में से $5$ घटाएं.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

चरण 4.6

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

चरण 4.6.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{5 x}{3 x - 2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$ है.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} (5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}])$

चरण 4.6.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.1

$5$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{5}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

चरण 4.6.3.2

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

चरण 4.6.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

चरण 4.6.3.3

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}}$ को $1$ से गुणा करें.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

चरण 4.7

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = 3 x - 2$ है.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{(3 x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.2

$3 x - 2$ को $1$ से गुणा करें.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.4

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.5

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.6

$3$ को $1$ से गुणा करें.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.8.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.8.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - 3 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.8.3

$3 x$ में से $3 x$ घटाएं.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{0 - 2}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.8.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.8.4.1

$0$ में से $2$ घटाएं.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{- 2}{{(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.8.8.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

चरण 4.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

${(\frac{3 x - 2}{5 x})}^{\frac{4}{5}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

चरण 4.9.2

उत्पाद नियम को $\frac{3 x - 2}{5 x}$ पर लागू करें.

$\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{{(5 x)}^{\frac{4}{5}}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

चरण 4.9.3

उत्पाद नियम को $5 x$ पर लागू करें.

$\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

चरण 4.9.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.4.1

$\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}}}$ को $\frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}} \cdot 2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.9.4.2

$2$ को ${(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{2 \cdot {(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2}}$

चरण 4.9.4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके ${(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}}$

चरण 4.9.4.4

घातांक जोड़कर ${(3 x - 2)}^{2}$ को ${(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.4.4.1

${(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}$ ले जाएं.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} ({(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2})}$

चरण 4.9.4.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + 2}}$

चरण 4.9.4.4.3

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}$

चरण 4.9.4.4.4

$2$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}$

चरण 4.9.4.4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}}}$

चरण 4.9.4.4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.4.4.6.1

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{- 4 + 10}{5}}}$

चरण 4.9.4.4.6.2

$- 4$ और $10$ जोड़ें.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = - \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$