कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{\frac{1}{x}}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\frac{1}{x}})$

चरण 2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{x}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = \frac{1}{x} \ln (x)$

चरण 2.2

$\frac{1}{x}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$\ln (y) = \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{x}$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{\ln (x)}{x}$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

चरण 3.2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.2.4.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.2.4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.2.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 3.2.4.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} x^{\frac{1}{x}}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ और $x^{\frac{1}{x}}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

चरण 5.2

$x^{\frac{1}{x}}$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x}}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2}}$

चरण 5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

चरण 5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{x^{2} ((1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

चरण 5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}}{1}$

चरण 5.2.2.4

$(1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = (1 - \ln (x)) x^{\frac{1}{x} - 2}$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = 1 x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$

चरण 5.4

$x^{\frac{1}{x} - 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$

चरण 5.5

गुणनखंडों को $x^{\frac{1}{x} - 2} - \ln (x) x^{\frac{1}{x} - 2}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = x^{\frac{1}{x} - 2} - x^{\frac{1}{x} - 2} \ln (x)$