कैलकुलस उदाहरण

$y = {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (6 x)}^{x})$

चरण 2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({\cos (6 x)}^{x})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = x \ln (\cos (6 x))$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x \ln (\cos (6 x))$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (6 x))]$

चरण 3.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (\cos (6 x))$ है.

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (6 x))] + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \cos (6 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\cos (6 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.3.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\cos (6 x)$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (6 x)} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.4

$\frac{1}{\cos (6 x)}$ को $\sec (6 x)$ में बदलें.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 6 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $6 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.5.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $6 x$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.6.2

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.6.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.6.4

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.6.5

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x)) \cdot 1$

चरण 3.2.6.6

$\ln (\cos (6 x))$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y'}{y} = - 6 x \sec (6 x) \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.2.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (6 x)$ को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = - 6 x \frac{1}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.2.2

$- 6 x \frac{1}{\cos (6 x)}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.2.2.1

$- 6$ और $\frac{1}{\cos (6 x)}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = x \frac{- 6}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.2.2.2

$x$ और $\frac{- 6}{\cos (6 x)}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot - 6}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.2.3

$- 6$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{- 6 \cdot x}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{y'}{y} = - \frac{6 \cdot x}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.2.5

$\sin (6 x)$ और $\frac{6 x}{\cos (6 x)}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (6 x) (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.2.6

$6$ को $\sin (6 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{y'}{y} = - \frac{6 \sin (6 x) x}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.3.1

अलग-अलग भिन्न

$\frac{y'}{y} = - (\frac{6 x}{1} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.3.2

$\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ को $\tan (6 x)$ में बदलें.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{6 x}{1} \tan (6 x)) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.3.3

$6 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{y'}{y} = - (6 x \tan (6 x)) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 3.2.7.3.4

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = - 6 x \tan (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (- 6 x \tan (6 x) + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (6 x)$ को फिर से लिखें.

$y' = (- 6 x \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.1.2

$- 6 x \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

$- 6$ और $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ को मिलाएं.

$y' = (x \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.1.2.2

$x$ और $\frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ को मिलाएं.

$y' = (\frac{x (- 6 \sin (6 x))}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.1.3

$- 6$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y' = (\frac{- 6 \cdot x \sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = (- \frac{6 x \sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = - \frac{6 x \sin (6 x)}{\cos (6 x)} {\cos (6 x)}^{x} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.3

${\cos (6 x)}^{x}$ और $\frac{6 x \sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ को मिलाएं.

$y' = - \frac{{\cos (6 x)}^{x} (6 x \sin (6 x))}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

${\cos (6 x)}^{x}$ और $\cos (6 x)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

${\cos (6 x)}^{x} (6 x \sin (6 x))$ में से $\cos (6 x)$ का गुणनखंड करें.

$y' = - \frac{\cos (6 x) ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x)))}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.4.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y' = - \frac{\cos (6 x) ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x)))}{\cos (6 x) \cdot 1} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.4.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - \frac{\cos (6 x) ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x)))}{\cos (6 x) \cdot 1} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.4.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{{\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x))}{1} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.4.1.2.4

${\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x))$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = - ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.4.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y' = - (6 {\cos (6 x)}^{x - 1} x \sin (6 x)) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.4.3

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y' = - 6 {\cos (6 x)}^{x - 1} x \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

चरण 5.5

गुणनखंडों को $- 6 {\cos (6 x)}^{x - 1} x \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = - 6 x {\cos (6 x)}^{x - 1} \sin (6 x) + {\cos (6 x)}^{x} \ln (\cos (6 x))$