कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x}{e^{x}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घातांक को ${(e^{x})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

चरण 1.2.1.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 1.2.3

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 1.4.2

$- e^{x} x + e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- e^{x} x$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 1.4.2.2

$1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

चरण 1.4.2.3

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

चरण 1.4.3

$e^{x}$ और $e^{2 x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$e^{x} (- x + 1)$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

चरण 1.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

चरण 1.4.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

चरण 1.4.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

चरण 1.4.3.2.4

$e^{- x} (- x + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{- x} (- x + 1)$

चरण 1.4.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

चरण 1.4.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

चरण 1.4.6

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

चरण 1.4.7

गुणनखंडों को $- e^{- x} x + e^{- x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x e^{- x} + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x e^{- x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- x}$ है.

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.5

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.6

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.8

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.10

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.3.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.3

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

चरण 2.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

चरण 2.3.5

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

चरण 2.3.6

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

चरण 2.4.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

चरण 2.4.2.3

$- e^{- x}$ में से $e^{- x}$ घटाएं.

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

चरण 2.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$

चरण 2.4.4

गुणनखंडों को $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$