कैलकुलस उदाहरण

$y = e^{x} \sqrt{x^{2} + 1}$

चरण 1

$\sqrt{x^{2} + 1}$ को ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$e^{x} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$e^{x} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.1

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$e^{x} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$e^{x} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.2.3

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $e^{x}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.6

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.6.2

$2$ और $\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.6.3

$\frac{2 e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{x} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.6.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 e^{x} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.7.6.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 4.8

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} e^{x}$

चरण 4.9

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ और $e^{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 4.10

$e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.12

घातांक जोड़कर ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.12.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{x e^{x} + e^{x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.12.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.12.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.12.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.12.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.13

$e^{x} {(x^{2} + 1)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{x e^{x} + e^{x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x e^{x} + e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.2.1

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x e^{x} + e^{x} x^{2} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.2.2

गुणनखंडों को $x e^{x} + e^{x} x^{2} + e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.4

गुणनखंडों को $\frac{e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$