कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{1 + \sqrt{x}}$

चरण 1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

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चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 1.2

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2}}}$ को ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ जोड़ें.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$- {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 10

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ को मिलाएं.

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{2}$

चरण 11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 11.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$