कैलकुलस उदाहरण

$\int x \ln^{2} (x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln^{2} (x)$ और $d v = x$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln^{2} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\ln^{2} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

चरण 2.2

$\ln^{2} (x)$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

चरण 3

$\frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x}$ को $\frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x^{2}$ और $\frac{2 \ln (x)}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} (2 \ln (x))}{x} d x)$

चरण 5.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$x^{2} (2 \ln (x))$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x} d x)$

चरण 5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x^{1}} d x)$

चरण 5.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

चरण 5.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

चरण 5.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 \ln (x))}{1} d x)$

चरण 5.2.2.5

$x (2 \ln (x))$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x)$

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x$

चरण 6

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x (\ln (x)) d x)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x (\ln (x)) d x$

चरण 7.2

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x (\ln (x)) d x$

चरण 7.3

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x (\ln (x)) d x$

चरण 7.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x (\ln (x)) d x$

चरण 7.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x (\ln (x)) d x$

चरण 7.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x (\ln (x)) d x$

चरण 7.3.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int x (\ln (x)) d x$

चरण 8

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = x$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

चरण 9.2

$\ln (x)$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

चरण 9.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

चरण 9.4

$\frac{x^{2}}{2}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

चरण 9.5

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

चरण 9.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.2.1

$2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

चरण 9.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

चरण 9.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

चरण 12

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

चरण 12.2

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ को $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

चरण 12.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 12.3.2

$- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 12.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 12.3.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

चरण 12.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

चरण 12.4.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 (- 1) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

चरण 12.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

चरण 12.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

चरण 12.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.3.1

$- \frac{x^{2}}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

चरण 12.4.3.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 (- 1) \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

चरण 12.4.3.3

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

चरण 12.4.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

चरण 12.4.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - \frac{- x^{2}}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} - - \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.4.2

$- - \frac{x^{2}}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + 1 \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.4.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.5

$- \ln (x) x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.6

$- \ln (x) x^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.8.1

$- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.8.1.1

$- \ln (x) x^{2} \cdot 2$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2}}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.8.1.2

$1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.8.1.3

$x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.8.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 2 \ln (x) + 1)}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.9

$- 2 \ln (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) + 1)}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.10

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.11

$- (2 \ln (x)) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.12

$- (2 \ln (x) - 1)$ को $- 1 (2 \ln (x) - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 1 (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

चरण 12.4.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{x^{2} (2 \ln (x) - 1)}{2}}{2} + C$

चरण 12.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} (\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} (2 \ln (x) - 1)) + C$