कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$

चरण 1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{x}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{x}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घातांक को ${(e^{x})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

चरण 4.2.1.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.8

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.9

$e^{x}$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.11

$\frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ को $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 4.12

जोड़ना.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.13

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.14

$2 x^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.14.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{x} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.15

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.16

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.17

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.17.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.17.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.18

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.18.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{x} - 2 x^{1} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.19

सरल करें.

$\frac{e^{x} - 2 x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.20

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{e^{x} - 2 x e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

चरण 4.21

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.21.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 2 e^{x} x + e^{x}}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.21.2

$- 2 e^{x} x + e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.21.2.1

$- 2 e^{x} x$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- 2 x) + e^{x}}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.21.2.2

$1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 1}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.21.2.3

$e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 1$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- 2 x + 1)}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.21.3

$e^{x} (- 2 x + 1)$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.21.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.21.4.1

$2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{e^{2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 4.21.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{e^{2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 4.21.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{- x} (- 2 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.21.5

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- x} (- (2 x) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.21.6

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{- x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.21.7

$- (2 x) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{- x} (- (2 x - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.21.8

$- (2 x - 1)$ को $- 1 (2 x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{e^{- x} (- 1 (2 x - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.21.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = - \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$