कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} (e^{x} - e^{- 2 x}) d x$

चरण 1

कोष्ठक हटा दें.

$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- 2 x} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

चरण 3

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = - 2 x$ .फिर $d u = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = - 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$- 2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \cdot 1$

चरण 5.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = - 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

चरण 5.3

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = - 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

चरण 5.5

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 2$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 6.2

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x}]_{0}^{1} - - \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{x}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 8.2

$\int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

चरण 10

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

चरण 11

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$1$ पर और $0$ पर $e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

चरण 11.2

$- 2$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 11.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

सरल करें.

$e - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 11.3.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$e - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 11.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e - 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

चरण 11.3.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

चरण 11.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e - 1 + \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 12.1.2

$\frac{1}{2}$ और $e^{- 2}$ को मिलाएं.

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 12.1.3

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

चरण 12.1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $e^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1}{2}$

चरण 12.1.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$

चरण 12.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 12.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 12.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

चरण 12.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 2 - 1}{2}$

चरण 12.5.2

$- 2$ में से $1$ घटाएं.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 3}{2}$

चरण 12.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

दशमलव रूप:

$1.28594947 \dots$

चरण 14