कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2}}{2 \sqrt{x} + 1}$

चरण 1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ है.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 3.2

$2$ को $2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 8

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 8.3

$2$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 8.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 8.5

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 8.6

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 9

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 10.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - \frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 11

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - (x^{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2 - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.3

$2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{4 - 1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 12.5.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1) x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}}) x + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.1

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.3.1.1.2

$x$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.3.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (2 x^{1 + \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.3.1.1.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.3.1.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{2 + 1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.3.1.1.5

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.3.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.3.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.3.2

$4 x^{\frac{3}{2}}$ में से $x^{\frac{3}{2}}$ घटाएं.

$\frac{2 x + 3 x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.4

$2 x + 3 x^{\frac{3}{2}}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 2 + 3 x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.4.2

$3 x^{\frac{3}{2}}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 2 + x (3 x^{\frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

चरण 13.4.3

$x \cdot 2 + x (3 x^{\frac{1}{2}})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (2 + 3 x^{\frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$