कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{x^{2}}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x^{2}})$

चरण 2

$x^{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{x^{2}})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = x^{2} \ln (x)$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = x^{2} \ln (x)$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x^{2} \ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

चरण 3.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2.4.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2.4.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2.4.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2.4.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2.4.2.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) (2 x)$

चरण 3.2.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y'}{y} = 2 x \ln (x) + x$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (2 x \ln (x) + x) x^{x^{2}}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (x)$ को सरल करें.

$y' = (x \ln (x^{2}) + x) x^{x^{2}}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = x \ln (x^{2}) x^{x^{2}} + x \cdot x^{x^{2}}$

चरण 5.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{x^{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$x^{x^{2}}$ ले जाएं.

$y' = x^{x^{2}} x \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

चरण 5.3.2

$x^{x^{2}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = x^{x^{2}} x^{1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

चरण 5.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

चरण 5.4

$x$ को $x^{x^{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1} x^{x^{2}}$

चरण 5.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1 + x^{2}}$