कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{x}{3}$ और ${(2 x + 1)}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}]$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ है.

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}] + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{3} (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.6.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.7

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \cdot 1)$

चरण 4.8

${(2 x + 1)}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3})$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2})) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 5.2

$x$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x}{3} (6 {(2 x + 1)}^{2}) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 5.3

$6$ और $\frac{x}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{6 x}{3} {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 5.4

$\frac{6 x}{3}$ और ${(2 x + 1)}^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{6 x {(2 x + 1)}^{2}}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 5.5

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$6 x {(2 x + 1)}^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 5.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 5.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 5.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x {(2 x + 1)}^{2}}{1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 5.5.2.4

$2 x {(2 x + 1)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 5.6

$2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ में से ${(2 x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$2 x {(2 x + 1)}^{2}$ में से ${(2 x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

चरण 5.6.2

$\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ में से ${(2 x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.6.3

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$ में से ${(2 x + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(2 x + 1)}^{2} (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.7

${(2 x + 1)}^{2}$ को $(2 x + 1) (2 x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$(2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.8

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 x + 1) (2 x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.9

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.9.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.9.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.9.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$(4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.9.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$(4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.9.1.5

$2 x$ को $1$ से गुणा करें.

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.9.1.6

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.9.2

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

चरण 5.10

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x) + \frac{1}{3} \cdot 1)$

चरण 5.10.2

$\frac{1}{3} (2 x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.2.1

$2$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1)$

चरण 5.10.2.2

$\frac{2}{3}$ और $x$ को मिलाएं.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

चरण 5.10.3

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

चरण 5.11

$2 x$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

चरण 5.12

$2 x$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

चरण 5.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3 + 2 x}{3} + \frac{1}{3})$

चरण 5.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{2 x \cdot 3 + 2 x + 1}{3}$

चरण 5.15

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{6 x + 2 x + 1}{3}$

चरण 5.16

$6 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{8 x + 1}{3}$

चरण 5.17

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

चरण 5.18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.18.1

$4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.18.1.1

$4$ और $\frac{8 x + 1}{3}$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

चरण 5.18.1.2

$x^{2}$ और $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

चरण 5.18.2

$4 x \frac{8 x + 1}{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.18.2.1

$4$ और $\frac{8 x + 1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + x \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

चरण 5.18.2.2

$x$ और $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

चरण 5.18.3

$\frac{8 x + 1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{8 x + 1}{3}$

चरण 5.19

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1)) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.20.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{4 x^{2} (8 x + 1) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.20.5.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.20.5.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.5.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.20.5.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.5.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.5.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.5.2

$4$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.6

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x + 1) + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.8

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.9

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.10

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.20.10.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.20.10.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 (x \cdot x) + 4 x + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.10.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.20.10.2

$4$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.21

$4 x^{2}$ और $32 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

चरण 5.22

$4 x$ और $8 x$ जोड़ें.

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 12 x + 1}{3}$