कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 - 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 - 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})]$ है.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})]$

चरण 1.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - \frac{π}{4})]$ है.

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - \frac{π}{4})]$

चरण 1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x - \frac{π}{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x - \frac{π}{4}$ के रूप में सेट करें.

$0 - 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - \frac{π}{4}])$

चरण 1.2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - \frac{π}{4}])$

चरण 1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - \frac{π}{4}$ से बदलें.

$0 - 2 (\cos (2 x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [2 x - \frac{π}{4}])$

चरण 1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - \frac{π}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ है.

$0 - 2 (\cos (2 x - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]))$

चरण 1.2.4

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - 2 (\cos (2 x - \frac{π}{4}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]))$

चरण 1.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 2 (\cos (2 x - \frac{π}{4}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]))$

चरण 1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{π}{4}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{π}{4}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 - 2 (\cos (2 x - \frac{π}{4}) (2 \cdot 1 + 0))$

चरण 1.2.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 2 (\cos (2 x - \frac{π}{4}) (2 + 0))$

चरण 1.2.8

$2$ और $0$ जोड़ें.

$0 - 2 (\cos (2 x - \frac{π}{4}) \cdot 2)$

चरण 1.2.9

$2$ को $\cos (2 x - \frac{π}{4})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x - \frac{π}{4}))$

चरण 1.2.10

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$0 - 4 \cos (2 x - \frac{π}{4})$

चरण 1.3

$0$ में से $4 \cos (2 x - \frac{π}{4})$ घटाएं.

$- 4 \cos (2 x - \frac{π}{4})$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 \cos (2 x - \frac{π}{4})$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - \frac{π}{4})]$ है.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (2 x - \frac{π}{4})$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x - \frac{π}{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x - \frac{π}{4}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x - \frac{π}{4}))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x - \frac{π}{4}))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - \frac{π}{4}$ से बदलें.

$f'' (x) = - 4 (- \sin (2 x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (2 x - \frac{π}{4}))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 (\sin (2 x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (2 x - \frac{π}{4}))$

चरण 2.3.2

$f'' (x) = 4 \sin (2 x - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{4}))$

चरण 2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 4 \sin (2 x - \frac{π}{4}) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{4}))$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = 4 \sin (2 x - \frac{π}{4}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{4}))$

चरण 2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 \sin (2 x - \frac{π}{4}) (2 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{4}))$

चरण 2.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{π}{4}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{π}{4}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 4 \sin (2 x - \frac{π}{4}) (2 + 0)$

चरण 2.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 4 \sin (2 x - \frac{π}{4}) \cdot 2$

चरण 2.3.7.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 8 \sin (2 x - \frac{π}{4})$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 4 \cos (2 x - \frac{π}{4}) = 0$

चरण 4

$- 4 \cos (2 x - \frac{π}{4}) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 4 \cos (2 x - \frac{π}{4}) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 \cos (2 x - \frac{π}{4})}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 \cos (2 x - \frac{π}{4})}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

चरण 4.2.1.2

$\cos (2 x - \frac{π}{4})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x - \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 4}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x - \frac{π}{4}) = 0$

चरण 5

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x - \frac{π}{4} = \arccos (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

चरण 7

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{4}$ जोड़ें.

$2 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

चरण 7.2

$\frac{π}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

चरण 7.3

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

चरण 7.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 7.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

चरण 7.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

चरण 7.5.2

$2 π$ और $π$ जोड़ें.

$2 x = \frac{3 π}{4}$

चरण 8

$2 x = \frac{3 π}{4}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2 x = \frac{3 π}{4}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

चरण 8.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 8.3.2

$\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$\frac{3 π}{4}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

चरण 8.3.2.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{8}$

चरण 9

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 10

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 10.1.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 10.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 10.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 10.1.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

चरण 10.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{4}$ जोड़ें.

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{4}$

चरण 10.2.2

$\frac{3 π}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

चरण 10.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$\frac{3 π}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

चरण 10.2.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{3 π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 10.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{3 π \cdot 2 + π}{4}$

चरण 10.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.5.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{6 π + π}{4}$

चरण 10.2.5.2

$6 π$ और $π$ जोड़ें.

$2 x = \frac{7 π}{4}$

चरण 10.3

$2 x = \frac{7 π}{4}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$2 x = \frac{7 π}{4}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

चरण 10.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

चरण 10.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

चरण 10.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 10.3.3.2

$\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.3.2.1

$\frac{7 π}{4}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

चरण 10.3.3.2.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{7 π}{8}$

चरण 11

समीकरण का हल $2 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8}$

चरण 12

$x = \frac{3 π}{8}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$8 \sin (2 (\frac{3 π}{8}) - \frac{π}{4})$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$8 \sin (2 \frac{3 π}{2 (4)} - \frac{π}{4})$

चरण 13.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$8 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4} - \frac{π}{4})$

चरण 13.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$8 \sin (\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4})$

चरण 13.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$8 \sin (\frac{3 π - π}{4})$

चरण 13.3

$3 π$ में से $π$ घटाएं.

$8 \sin (\frac{2 π}{4})$

चरण 13.4

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$8 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

चरण 13.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$8 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

चरण 13.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$8 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

चरण 13.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$8 \sin (\frac{π}{2})$

चरण 13.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$8 \cdot 1$

चरण 13.6

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$8$

चरण 14

$x = \frac{3 π}{8}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{3 π}{8}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 15

$x = \frac{3 π}{8}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π}{8}$ से बदलें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \sin (2 (\frac{3 π}{8}) - \frac{π}{4})$

चरण 15.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (4)}) - \frac{π}{4})$

चरण 15.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4}) - \frac{π}{4})$

चरण 15.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{3 π}{4} - \frac{π}{4})$

चरण 15.2.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{3 π - π}{4})$

चरण 15.2.1.3

$3 π$ में से $π$ घटाएं.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{2 π}{4})$

चरण 15.2.1.4

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.4.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

चरण 15.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.4.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

चरण 15.2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

चरण 15.2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

चरण 15.2.1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2 \cdot 1$

चरण 15.2.1.6

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 - 2$

चरण 15.2.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$f (\frac{3 π}{8}) = 1$

चरण 15.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$y = 1$

चरण 16

$x = \frac{7 π}{8}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$8 \sin (2 (\frac{7 π}{8}) - \frac{π}{4})$

चरण 17

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$8 \sin (2 \frac{7 π}{2 (4)} - \frac{π}{4})$

चरण 17.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$8 \sin (2 \frac{7 π}{2 \cdot 4} - \frac{π}{4})$

चरण 17.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$8 \sin (\frac{7 π}{4} - \frac{π}{4})$

चरण 17.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$8 \sin (\frac{7 π - π}{4})$

चरण 17.3

$7 π$ में से $π$ घटाएं.

$8 \sin (\frac{6 π}{4})$

चरण 17.4

$6$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.1

$6 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$8 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

चरण 17.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.4.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$8 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

चरण 17.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$8 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

चरण 17.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$8 \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 17.5

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$8 (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 17.6

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$8 (- 1 \cdot 1)$

चरण 17.7

$8 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.7.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$8 \cdot - 1$

चरण 17.7.2

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 8$

चरण 18

$x = \frac{7 π}{8}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{7 π}{8}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 19

$x = \frac{7 π}{8}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{7 π}{8}$ से बदलें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \sin (2 (\frac{7 π}{8}) - \frac{π}{4})$

चरण 19.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.1.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \sin (2 (\frac{7 π}{2 (4)}) - \frac{π}{4})$

चरण 19.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 4}) - \frac{π}{4})$

चरण 19.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{7 π}{4} - \frac{π}{4})$

चरण 19.2.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{7 π - π}{4})$

चरण 19.2.1.3

$7 π$ में से $π$ घटाएं.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{6 π}{4})$

चरण 19.2.1.4

$6$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.4.1

$6 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

चरण 19.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.4.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

चरण 19.2.1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

चरण 19.2.1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

चरण 19.2.1.5

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

चरण 19.2.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 (- 1 \cdot 1)$

चरण 19.2.1.7

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1.7.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 - 2 \cdot - 1$

चरण 19.2.1.7.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 3 + 2$

चरण 19.2.2

$3$ और $2$ जोड़ें.

$f (\frac{7 π}{8}) = 5$

चरण 19.2.3

अंतिम उत्तर $5$ है.

$y = 5$

चरण 20

ये $f (x) = 3 - 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{3 π}{8}, 1)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(\frac{7 π}{8}, 5)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 21