कैलकुलस उदाहरण

$\int_{2}^{8} \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\int_{2}^{8} \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $x = \sec (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec (t) \tan (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.2

घातांक को ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.3

$\tan^{6} (t)$ को ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.1.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\tan (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$\tan^{3} (t)$ में से $\tan (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 3.2.1.2

$\sec (t) \tan (t)$ में से $\tan (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

चरण 3.2.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

चरण 3.2.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

चरण 3.2.2

$\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ और $\sec (t)$ को मिलाएं.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sec (x)$ को $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

चरण 4.2

प्रतिलोम सर्वसमिका को लागू करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 4.3.2

जोड़ना.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 4.3.3

$\csc (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

चरण 4.3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cot (t)}$ पर लागू करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 4.3.4.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 4.3.5

$\cot (t)$ और $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 4.3.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1

$1$ से गुणा करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

चरण 4.3.6.2

${\cot (t)}^{2}$ में से $\cot (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

चरण 4.3.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

चरण 4.3.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

चरण 4.3.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.44546849} \csc (t) \cot (t) d t$

चरण 5

चूंकि $- \csc (t)$ का व्युत्पन्न $\csc (t) \cot (t)$ है, $\csc (t) \cot (t)$ का समाकलन $- \csc (t)$ है.

$- \csc (t)]_{\frac{π}{3}}^{1.44546849}$

चरण 6

$1.44546849$ पर और $\frac{π}{3}$ पर $- \csc (t)$ का मान ज्ञात करें.

$- \csc (1.44546849) + \csc (\frac{π}{3})$

चरण 7

$\csc (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 8.2

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 8.2.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 8.2.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 8.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 8.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 8.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 8.2.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 8.2.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 8.2.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 8.2.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 8.2.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \csc (1.44546849) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

दशमलव रूप:

$0.14679527 \dots$

चरण 10