कैलकुलस उदाहरण

$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = - 1$ और $g (y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ है.

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2} + y^{2}}] + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = x^{2} + y^{2}$ है.

$- \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 3.2

$x^{2} + y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 3.4

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 3.5

$0$ और $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ जोड़ें.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (2 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y \cdot y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 4

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (y^{1} y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 5

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (y^{1} y^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 7

पदों को जोड़कर सरल करें.

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चरण 7.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 7.2

$y^{2}$ में से $2 y^{2}$ घटाएं.

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 8

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \cdot 0$

चरण 9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 9.1

$\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + 0$

चरण 9.2

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$