कैलकुलस उदाहरण

$y = {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$

चरण 2

$\ln (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({\sin (9 x)}^{\ln (x)})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (9 x))$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\ln (x) \ln (\sin (9 x))$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (9 x))]$

चरण 3.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \ln (\sin (9 x))$ है.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (9 x))] + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \sin (9 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sin (9 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.3.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sin (9 x)$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (9 x)} \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.4

$\frac{1}{\sin (9 x)}$ को $\csc (9 x)$ में बदलें.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 9 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $9 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.5.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $9 x$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) (9 \cdot 1)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.3.1

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (9 x) \cos (9 x) \cdot 9) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.6.3.2

$9$ को $\csc (9 x) \cos (9 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \cdot (\csc (9 x) \cos (9 x))) + \ln (\sin (9 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.2.7

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \ln (\sin (9 x)) \frac{1}{x}$

चरण 3.2.8

$\ln (\sin (9 x))$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (9 \csc (9 x) \cos (9 x)) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

चरण 3.2.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.9.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \csc (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

चरण 3.2.9.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.9.2.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (9 x)$ को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

चरण 3.2.9.2.2

$9 \cos (9 x) \frac{1}{\sin (9 x)}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.9.2.2.1

$\frac{1}{\sin (9 x)}$ और $9$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{9}{\sin (9 x)} \cos (9 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

चरण 3.2.9.2.2.2

$\frac{9}{\sin (9 x)}$ और $\cos (9 x)$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

चरण 3.2.9.2.3

$\frac{9 \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \cos (9 x) \ln (x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

चरण 3.2.9.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.9.3.1

अलग-अलग भिन्न

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

चरण 3.2.9.3.2

$\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ को $\cot (9 x)$ में बदलें.

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \ln (x)}{1} \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

चरण 3.2.9.3.3

$9 \ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{y'}{y} = 9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (9 \ln (x) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$9$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $9 \ln (x)$ को सरल करें.

$y' = (\ln (x^{9}) \cot (9 x) + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

चरण 5.1.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cot (9 x)$ को फिर से लिखें.

$y' = (\ln (x^{9}) \frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

चरण 5.1.3

$\ln (x^{9})$ और $\frac{\cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ को मिलाएं.

$y' = (\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x}) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)} {\sin (9 x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

चरण 5.3

$\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x)}{\sin (9 x)}$ और ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x))}{x} {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$

चरण 5.4

$\frac{\ln (\sin (9 x))}{x}$ और ${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

चरण 5.5

${\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ और $\sin (9 x)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}$ में से $\sin (9 x)$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x)} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

चरण 5.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

चरण 5.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{\sin (9 x) (\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (9 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

चरण 5.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

चरण 5.5.2.4

$\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

चरण 5.6

$\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

चरण 5.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$

चरण 5.8

गुणनखंडों को $\frac{\ln (x^{9}) \cos (9 x) {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (9 x)) {\sin (9 x)}^{\ln (x)}}{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = \frac{x {\sin (9 x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x^{9}) \cos (9 x) + {\sin (9 x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (9 x))}{x}$