कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

चरण 1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

चरण 1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

चरण 2

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$- e^{x} \sin (x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

चरण 2.1.1.2

$e^{x} \cos (x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

चरण 2.1.1.3

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

चरण 2.1.2

$- 1 \sin (x)$ को $- \sin (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

चरण 2.3

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 2.3.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.3.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.4

$- \sin (x) + \cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$- \sin (x) + \cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

समीकरण के प्रत्येक पद को $\cos (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.4.2.2

अलग-अलग भिन्न

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.4.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ को $\tan (x)$ में बदलें.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.4.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.4.2.5

$\cos (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.4.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

चरण 2.4.2.6

अलग-अलग भिन्न

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

चरण 2.4.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ को $\sec (x)$ में बदलें.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

चरण 2.4.2.8

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

चरण 2.4.2.9

$0$ को $\sec (x)$ से गुणा करें.

$- \tan (x) + 1 = 0$

चरण 2.4.2.10

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- \tan (x) = - 1$

चरण 2.4.2.11

$- \tan (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.11.1

$- \tan (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.4.2.11.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.11.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.4.2.11.2.2

$\tan (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 2.4.2.11.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.11.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\tan (x) = 1$

चरण 2.4.2.12

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (1)$

चरण 2.4.2.13

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.13.1

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$x = \frac{π}{4}$

चरण 2.4.2.14

पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए $π$ से संदर्भ कोण जोड़ें.

$x = π + \frac{π}{4}$

चरण 2.4.2.15

$π + \frac{π}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.15.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 2.4.2.15.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.15.2.1

$π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

चरण 2.4.2.15.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

चरण 2.4.2.15.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.15.3.1

$4$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

चरण 2.4.2.15.3.2

$4 π$ और $π$ जोड़ें.

$x = \frac{5 π}{4}$

चरण 2.4.2.16

$\tan (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.16.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 2.4.2.16.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 2.4.2.16.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 2.4.2.16.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 2.4.2.17

$\tan (x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.6

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.7

प्रत्येक हल को $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ में प्रतिस्थापित करके और हल करके सत्यापित करें.

$x = \frac{π}{4} + 6 π n, \frac{5 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, 10.21017612 + 6 π n, 13.35176877 + 6 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

मूल फलन $f (x) = e^{x} \cos (x)$ को $x = \frac{π}{4}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

चरण 3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 3.2.2

$e^{\frac{π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 3.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ है.

$\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4

मूल फलन $f (x) = e^{x} \cos (x)$ को $x = \frac{5 π}{4}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{5 π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

चरण 4.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 4.2.3

$e^{\frac{5 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 4.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ है.

$- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 5

मूल फलन $f (x) = e^{x} \cos (x)$ को $x = \frac{9 π}{4}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{9 π}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{9 π}{4})$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

चरण 5.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है.

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 5.2.3

$e^{\frac{9 π}{4}}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ है.

$\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

चरण 6

मूल फलन $f (x) = e^{x} \cos (x)$ को $x = 10.21017612$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $10.21017612$ से बदलें.

$f (10.21017612) = e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

चरण 6.2

अंतिम उत्तर $e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$ है.

$e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

चरण 7

मूल फलन $f (x) = e^{x} \cos (x)$ को $x = 13.35176877$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $13.35176877$ से बदलें.

$f (13.35176877) = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

चरण 7.2

अंतिम उत्तर $e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ है.

$e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

चरण 8

फलन $f (x) = e^{x} \cos (x)$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ हैं.

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

चरण 9