कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} {(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

चरण 1

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ को $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$

चरण 1.2

$\frac{1}{x}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ का प्रसार करें.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

चरण 2.2

$\frac{1}{x}$ और $\ln (e^{x} + x)$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$

चरण 3

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to \infty} x}}$

चरण 3.1.2

जैसे ही लघुगणक अनंत की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

चरण 3.1.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 3.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 3.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = e^{x} + x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $e^{x} + x$ के रूप में सेट करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 3.3.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 3.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $e^{x} + x$ से बदलें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 3.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 3.3.4

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 3.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 3.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 3.3.6.2

$e^{x} + 1$ को $\frac{1}{e^{x} + x}$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 3.3.7

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1}}$

चरण 3.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1}$

चरण 3.5

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}$

चरण 4

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

चरण 4.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

चरण 4.1.2.2

चूँकि घातांक $x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$e^{\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

चरण 4.1.2.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

चरण 4.1.2.4

अनंत में कोई संख्या से जोड़ या घटाव करने पर परिणाम एक संख्या अनंत होती है.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + x}}$

चरण 4.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} x}}$

चरण 4.1.3.2

चूँकि घातांक $x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$e^{\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} x}}$

चरण 4.1.3.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$e^{\frac{\infty}{\infty + \infty}}$

चरण 4.1.3.4

अनंत जोड़ अनंत परिणाम अनंत होता है.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 4.1.3.5

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 4.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}$

चरण 4.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

चरण 4.3.3

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

चरण 4.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

चरण 4.3.5

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + x]}}$

चरण 4.3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 4.3.7

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [x]}}$

चरण 4.3.8

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}}$

चरण 5

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}}$

चरण 5.1.2

चूँकि घातांक $x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}}$

चरण 5.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

चरण 5.1.3.2

चूँकि घातांक $x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$e^{\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

चरण 5.1.3.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{\frac{\infty}{\infty + 1}}$

चरण 5.1.3.4

अनंत में कोई संख्या से जोड़ या घटाव करने पर परिणाम एक संख्या अनंत होती है.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 5.1.3.5

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 5.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

चरण 5.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}}$

चरण 5.3.2

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}}$

चरण 5.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

चरण 5.3.4

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

चरण 5.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} + 0}}$

चरण 5.3.6

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}}$

चरण 5.4

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x}}}$

चरण 5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 6

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{1}$

चरण 7

सरल करें.

$e$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$e$

दशमलव रूप:

$2.71828182 \dots$