कैलकुलस उदाहरण

$\sin (x) \cos (x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.3

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.4

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.7

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

चरण 1.8

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

चरण 1.9

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

चरण 1.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

चरण 1.11

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

चरण 1.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.1

$- \sin^{2} (x)$ और $\cos^{2} (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

चरण 1.12.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = \cos (x)$ और $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

चरण 1.12.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

चरण 1.12.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

चरण 1.12.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

चरण 1.12.4

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.4.1

गुणनखंडों को $\cos (x) (- \sin (x))$ और $\sin (x) \cos (x)$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

चरण 1.12.4.2

$- \cos (x) \sin (x)$ और $\cos (x) \sin (x)$ जोड़ें.

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

चरण 1.12.4.3

$\cos (x) \cos (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

चरण 1.12.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.5.1

$\cos (x) \cos (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.5.1.1

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

चरण 1.12.5.1.2

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

चरण 1.12.5.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

चरण 1.12.5.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

चरण 1.12.5.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

चरण 1.12.5.3

$- \sin (x) \sin (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.12.5.3.1

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

चरण 1.12.5.3.2

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

चरण 1.12.5.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

चरण 1.12.5.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

चरण 1.12.6

कोज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$f' (x) = \cos (2 x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

चरण 2.2.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$