कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{2 x - 6}$

चरण 1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{2 x - 6}$

चरण 1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{2 x - 6}$

चरण 2

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $- \sqrt{x^{2}} = x$ है.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 6}{x}}$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{2 - \frac{6}{x}}$

चरण 3.2

जैसे ही $x$ $- \infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 3.3

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 3.4

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 3) (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 3) + 3 (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.4

$x$ और $- 3$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.8.2

$3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x + 3 x - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.8.3

$- 3 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.8.4

$0$ में से $9$ घटाएं.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.2.9

सम घात वाले बहुपद की ऋणात्मक अनंत का लिमिट जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.3

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 4.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 3$ और $g (x) = x - 3$ है.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.7

$x + 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.9

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.10

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.11

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.12

$x - 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.13

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.14

$3$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.15

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.3.16

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.4

कम करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.4.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.4.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 4.4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

चरण 5.2

जैसे-जैसे $x$ $- \infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

चरण 5.3

$2$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

चरण 5.4

$6$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 6 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

चरण 6

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 6 \cdot 0}$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 - 6 \cdot 0}$

चरण 7.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- 6$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

चरण 7.2.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

चरण 7.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 1}{2}$

चरण 7.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{1}{2}$

दशमलव रूप:

$- 0.5$