कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

चरण 1

वर्ग को पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- x^{2} + x$

चरण 1.2

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

चरण 1.3

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.4

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

चरण 1.4.2

$1$ और $- 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

चरण 1.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$d = - \frac{1}{2}$

चरण 1.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 1.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

चरण 1.5.2.1.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

चरण 1.5.2.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

चरण 1.5.2.1.4

$- - \frac{1}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

चरण 1.5.2.1.4.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$e = 0 + \frac{1}{4}$

चरण 1.5.2.2

$0$ और $\frac{1}{4}$ जोड़ें.

$e = \frac{1}{4}$

चरण 1.6

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ में प्रतिस्थापित करें.

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . फिर $d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x - \frac{1}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - \frac{1}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

चरण 2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{1}{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

चरण 2.3

$0$ में से $\frac{1}{2}$ घटाएं.

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 2.5.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

चरण 2.5.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

चरण 2.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

चरण 3

घातांक का उपयोग करके व्यंजक लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

चरण 3.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

चरण 4

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

चरण 5

$- {u_{1}}^{2}$ और ${(\frac{1}{2})}^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

चरण 6

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = \frac{1}{2}$ और $b = u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

चरण 7

$u_{1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

चरण 8

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$u_{1}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

चरण 8.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

चरण 9

$2$ को $u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

चरण 10

$- u_{1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

चरण 11

$- u_{1}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

चरण 12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

चरण 13

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

चरण 14

$\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ को $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

चरण 15

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

चरण 16

$\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

चरण 16.2

$4$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

चरण 16.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

चरण 17

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

चरण 17.2

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ को मिलाएं.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

चरण 18

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

चरण 18.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

चरण 18.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

चरण 19

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

चरण 19.1.2

$- 2 u_{1}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

चरण 19.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

चरण 19.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

चरण 19.1.5

घातांक जोड़कर $u_{1}$ को $u_{1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1.5.1

$u_{1}$ ले जाएं.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

चरण 19.1.5.2

$u_{1}$ को $u_{1}$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

चरण 19.1.6

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

चरण 19.2

$- 2 u_{1}$ और $2 u_{1}$ जोड़ें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

चरण 19.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

चरण 20

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

चरण 21

मान लीजिए $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\frac{\cos (t)}{2}$ सकारात्मक है.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 22

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

$\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (t)$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 22.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sin (t)}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 22.1.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 22.1.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1.1.4.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 22.1.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 22.1.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 22.1.2

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 22.1.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

चरण 22.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.2.1

$\cos (t)$ और $\frac{\cos (t)}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

चरण 22.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

चरण 22.2.3

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

चरण 22.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

चरण 22.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

चरण 23

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

चरण 24

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

चरण 24.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

चरण 25

$\cos^{2} (t)$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 26

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

चरण 27

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 27.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 27.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 28

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

चरण 29

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

चरण 30

मान लीजिए $u_{2} = 2 t$ .फिर $d u_{2} = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 30.1

मान लें $u_{2} = 2 t$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 30.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 30.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 30.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 30.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 30.2

$t$ के लिए $u_{2} = 2 t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

चरण 30.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 30.3.1

$- \frac{π}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

चरण 30.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

चरण 30.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = - π$

चरण 30.4

$t$ के लिए $u_{2} = 2 t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

चरण 30.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 30.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

चरण 30.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = π$

चरण 30.6

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

चरण 30.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 31

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 32

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

चरण 33

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

चरण 34

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 34.1

$\frac{π}{2}$ पर और $- \frac{π}{2}$ पर $t$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

चरण 34.2

$π$ पर और $- π$ पर $\sin (u_{2})$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

चरण 34.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 34.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

चरण 34.3.2

$π$ और $π$ जोड़ें.

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

चरण 34.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 34.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

चरण 34.3.3.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

चरण 35

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 35.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 35.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 35.1.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

चरण 35.1.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

चरण 35.1.1.3

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

चरण 35.1.1.4

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

चरण 35.1.1.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

चरण 35.1.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

चरण 35.1.3

$\frac{1}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{8} (π + 0)$

चरण 35.2

$π$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{8} π$

चरण 35.3

$\frac{1}{8}$ और $π$ को मिलाएं.

$\frac{π}{8}$

चरण 36

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π}{8}$

दशमलव रूप:

$0.39269908 \dots$

चरण 37