कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2} (e^{x} - 1)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (e^{x} - 1))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = e^{x} - 1$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.4

अवकलन करें.

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चरण 3.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{2} (e^{x} + 0) + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.4.2

$e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} e^{x} + (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} e^{x} + (e^{x} - 1) (2 x)$

चरण 3.4.4

$2$ को $e^{x} - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} e^{x} + 2 \cdot (e^{x} - 1) x$

चरण 3.5

सरल करें.

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चरण 3.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} e^{x} + (2 e^{x} + 2 \cdot - 1) x$

चरण 3.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x + 2 \cdot - 1 x$

चरण 3.5.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x - 2 x$

चरण 3.5.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 x$

चरण 3.5.5

गुणनखंडों को $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 x$ में पुन: क्रमित करें.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x$