कैलकुलस उदाहरण

$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

चरण 1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x + h}$ को ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - \sqrt{x}}{h}]$

चरण 1.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h}]$

चरण 1.3

चूंकि $\frac{1}{h}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x + h$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + h$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + h$ से बदलें.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2} {(x + h)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{h} (\frac{{(x + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + h$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ है.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 10

चूंकि $x$ के संबंध में $h$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $h$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 11.2

$\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 12

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 14

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

चरण 15

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 16

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 17

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

चरण 17.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

चरण 18

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

चरण 19

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 20

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{h} (\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 21

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{h} \cdot \frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{h} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 21.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.2.1

$\frac{1}{h}$ को $\frac{1}{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{h} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 21.2.2

$\frac{1}{h}$ को $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{h (2 x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 21.2.3

$2$ को $h$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.3.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.3.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{1}{h (2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21.3.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$\frac{1}{h \cdot 2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21.3.2

$2$ को $h$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2 h {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 h x^{\frac{1}{2}}}$