कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

चरण 1

$t$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = 3 - 4 x$ .फिर $d u = - 4 d x$ , तो $- \frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = 3 - 4 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$3 - 4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 - 4 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 4 \cdot 1$

चरण 2.1.3.3

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 4$

चरण 2.1.4

$0$ में से $4$ घटाएं.

$- 4$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = 3 - 4 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

चरण 2.3

$x$ के लिए $u = 3 - 4 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$- 4$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 3 + 0$

चरण 2.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$u_{upper} = 3$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

चरण 2.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

चरण 3.2

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

चरण 3.3

$4$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

चरण 7

$\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

चरण 8

$3$ पर और $3 - 4 t$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

चरण 9

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

चरण 10

चूँकि फलन $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, ऋणात्मक स्थिरांक $- 1$ बार फलन $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सतत एकाधिक $- 1$ हटाई गई लिमिट पर विचार करें.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

चरण 10.2

जैसे ही $t$ $- \infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

चरण 10.3

जैसे ही $t$ दोनों ओर से $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ बिना किसी सीमा के कम हो जाता है.

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

चरण 10.4

$4$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{- \infty}{4}$

चरण 10.5

अनंत को किसी भी चीज से विभाजित किया जाता है जो कि परिमित और गैर-शून्य है, अनंत है.

$- \infty$

चरण 10.6

$\infty$