कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (5 x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}$

चरण 1.2

जैसे ही लघुगणक अनंत की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}$

चरण 1.3

जैसे ही $x$ करणी के लिए $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $5 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x$ से बदलें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3.4

$5$ और $\frac{1}{5 x}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3.5

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3.7

$\frac{1}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

चरण 3.8

$\sqrt{5 x}$ को ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

चरण 3.9

$5 x$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}$

चरण 3.10

उत्पाद नियम को $5 (x)$ पर लागू करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}$

चरण 3.11

चूंकि $5^{\frac{1}{2}}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

चरण 3.12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

चरण 3.13

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

चरण 3.14

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

चरण 3.15

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

चरण 3.16

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

चरण 3.16.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

चरण 3.17

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

चरण 3.18

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

चरण 3.19

$5^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

चरण 3.20

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

चरण 4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

भिन्नात्मक घातांक को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{5^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.2

$5^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

चरण 6

$\frac{1}{x}$ को $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{5}}$

चरण 7

कम करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{5}}$

चरण 7.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{5}}$

चरण 7.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$x \sqrt{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x (\sqrt{5})}$

चरण 7.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{5}}$

चरण 7.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{5}}$

चरण 7.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{5} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{2}{\sqrt{5}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 0$

चरण 10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ को $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \cdot 0$

चरण 10.2

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ को $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \cdot 0$

चरण 10.2.2

$\sqrt{5}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \cdot 0$

चरण 10.2.3

$\sqrt{5}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \cdot 0$

चरण 10.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \cdot 0$

चरण 10.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \cdot 0$

चरण 10.2.6

${\sqrt{5}}^{2}$ को $5$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.6.1

$\sqrt{5}$ को $5^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 0$

चरण 10.2.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 0$

चरण 10.2.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

चरण 10.2.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

चरण 10.2.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}} \cdot 0$

चरण 10.2.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot 0$

चरण 10.3

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ को $0$ से गुणा करें.

$0$