कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

चरण 1

$- 4$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

चरण 2

जैसे ही $x$ $\frac{π}{3}$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (- x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

चरण 3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} - x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

चरण 4

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

चरण 5

जैसे-जैसे $x$ $\frac{π}{3}$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

चरण 6

$3$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\frac{π}{3}$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

चरण 7

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (- 2 x)}$

चरण 8

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} - 2 x)}$

चरण 9

$- 2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

चरण 10

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $\frac{π}{3}$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$x$ के लिए $\frac{π}{3}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

चरण 10.2

$x$ के लिए $\frac{π}{3}$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

चरण 11

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव तब तक जोड़ें जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$- 4 \frac{\cos (\frac{5 π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

चरण 11.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

चरण 11.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

चरण 11.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$- 2$ और $\frac{π}{3}$ को मिलाएं.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{- 2 π}{3})}$

चरण 11.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- \frac{2 π}{3})}$

चरण 11.2.3

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{4 π}{3})}$

चरण 11.2.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))}$

चरण 11.2.5

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

चरण 11.2.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.6.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

चरण 11.2.6.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

चरण 11.2.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

चरण 11.2.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - - \sqrt{3}}$

चरण 11.2.7

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 1 \sqrt{3}}$

चरण 11.2.8

$\sqrt{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + \sqrt{3}}$

चरण 11.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + \sqrt{3}})$

चरण 11.4

$\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ को $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$- 4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

चरण 11.5

$\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ को $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

चरण 11.6

FOIL विधि का उपयोग करके भाजक का प्रसार करें.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

चरण 11.7

सरल करें.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6})$

चरण 11.8

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{2 \cdot 6}$

चरण 11.8.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

चरण 11.9

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.9.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (- 1) \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

चरण 11.9.2

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

चरण 11.9.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

चरण 11.9.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

चरण 12

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

दशमलव रूप:

$- 0.42264973 \dots$