कैलकुलस उदाहरण

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 y^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ है.

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

चरण 2.2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

चरण 2.2.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

चरण 2.2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

चरण 2.2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

चरण 2.2.7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

चरण 2.2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

चरण 2.2.9

$\frac{1}{3}$ और $y^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

चरण 2.2.10

$\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ और $y'$ को मिलाएं.

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

चरण 2.2.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $y^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

चरण 2.2.12

$3$ और $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

चरण 2.2.13

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

चरण 2.2.14

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

चरण 5.2

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

चरण 5.2.2

$- y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

चरण 5.2.3

$y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

चरण 5.3

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

चरण 5.4

$y^{\frac{2}{3}}$ को ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

चरण 5.5

$\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ को ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

चरण 5.6

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

चरण 5.7

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ और $b = 1$ .

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

चरण 5.7.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

चरण 5.8

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ के प्रत्येक पद को $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ के प्रत्येक पद को $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

चरण 5.8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 5.8.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

चरण 5.8.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

चरण 5.8.2.4

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

चरण 5.8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.1.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

चरण 5.8.3.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

चरण 5.8.3.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

चरण 5.8.3.1.4

$- 1$ और $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ को मिलाएं.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

चरण 5.8.3.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

चरण 5.8.3.2

$\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ को $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

चरण 5.8.3.3

घातांक जोड़कर $y^{\frac{1}{3}}$ को $y^{\frac{1}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

चरण 5.8.3.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

चरण 5.8.3.3.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

चरण 5.8.3.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$