कैलकुलस उदाहरण

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

चरण 1

मान लें $y = f (θ)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

चरण 2

$\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ को $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

चरण 3.2.2

योग नियम के अनुसार, $θ$ के संबंध में $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \ln (θ)$ और $g (θ) = \sec (θ)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sec (θ)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

चरण 3.2.3.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

चरण 3.2.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sec (θ)$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

चरण 3.2.3.2

$θ$ के संबंध में $\sec (θ)$ का व्युत्पन्न $\sec (θ) \tan (θ)$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

चरण 3.2.3.3

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (θ)$ को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

चरण 3.2.3.4

$\frac{1}{\cos (θ)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

चरण 3.2.3.5

$\cos (θ)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

चरण 3.2.4

$\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \ln (θ)$ और $g (θ) = \tan (θ)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\tan (θ)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

चरण 3.2.4.1.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

चरण 3.2.4.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\tan (θ)$ से बदलें.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

चरण 3.2.4.2

$θ$ के संबंध में $\tan (θ)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (θ)$ है.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

चरण 3.2.4.3

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (θ)$ को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

चरण 3.2.4.4

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

चरण 3.2.4.5

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ को $\cot (θ)$ में बदलें.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

चरण 3.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

चरण 3.2.5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में फिर से लिखें, फिर सामान्य गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.1.1

$\cos (θ)$ और $\sec (θ)$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

चरण 3.2.5.2.1.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cos (θ) \sec (θ)$ को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

चरण 3.2.5.2.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

चरण 3.2.5.2.2

$\tan (θ)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

चरण 3.2.5.2.3

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (θ)$ को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

चरण 3.2.5.2.4

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (θ)$ को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

चरण 3.2.5.2.5

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (θ)}$ पर लागू करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

चरण 3.2.5.2.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

चरण 3.2.5.2.7

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cot (θ)$ को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

चरण 3.2.5.2.8

जोड़ना.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

चरण 3.2.5.2.9

$\cos (θ)$ और $\cos^{2} (θ)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.9.1

$1 \cos (θ)$ में से $\cos (θ)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

चरण 3.2.5.2.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.9.2.1

$\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ में से $\cos (θ)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

चरण 3.2.5.2.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

चरण 3.2.5.2.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

चरण 3.2.5.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.3.1

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ को $\tan (θ)$ में बदलें.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

चरण 3.2.5.3.2

अलग-अलग भिन्न

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

चरण 3.2.5.3.3

$\frac{1}{\cos (θ)}$ को $\sec (θ)$ में बदलें.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

चरण 3.2.5.3.4

$\frac{1}{\sin (θ)}$ को $\csc (θ)$ में बदलें.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

चरण 5.2

$\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\tan (θ)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

चरण 5.2.2

$\tan (θ)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

चरण 5.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

चरण 5.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

चरण 5.3

$\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$\sec (θ)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

चरण 5.3.2

$\sec (θ)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

चरण 5.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

चरण 5.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$