कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{5 x}}{5 x}$

चरण 1

$\frac{2}{5}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

चरण 2

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

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चरण 2.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to \infty} x}$

चरण 2.1.2

जैसे ही $x$ करणी के लिए $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

चरण 2.1.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

चरण 2.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

चरण 2.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 2.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.2

$\sqrt{5 x}$ को ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.3

$5 x$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.4

उत्पाद नियम को $5 (x)$ पर लागू करें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.5

चूंकि $5^{\frac{1}{2}}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 2.3.10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.12

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.13

$5^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.14

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

चरण 2.3.15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

चरण 2.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

चरण 2.5

भिन्नात्मक घातांक को करणी में बदलें.

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चरण 2.5.1

$5^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

चरण 2.5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ को $\sqrt{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

चरण 2.6

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

चरण 3

$\frac{\sqrt{5}}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

चरण 4

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{\sqrt{x}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

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चरण 5.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 5.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

चरण 5.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{5} \sqrt{5} \cdot 0$

चरण 5.2

$\frac{1}{5}$ और $\sqrt{5}$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0$

चरण 5.3

$\frac{\sqrt{5}}{5}$ को $0$ से गुणा करें.

$0$