कैलकुलस उदाहरण

$x y = 2 x^{2} - x^{2} y^{3}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{2} y^{3})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x y' + y \cdot 1$

चरण 2.4

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$x y' + y$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{2} - x^{2} y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{2}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

चरण 3.2.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2} y^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ है.

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

चरण 3.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y^{3}$ है.

$4 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$4 x - (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 x - (x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$4 x - (x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 x - (x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3.5

$4 x - (x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x))$

चरण 3.3.6

$3$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 x - (3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x))$

चरण 3.3.7

$2$ को $y^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 x - (3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x)$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 x - (3 x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 x - 3 (x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

चरण 3.4.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 x - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x$

चरण 3.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x + 4 x$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$x y' + y = - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x + 4 x$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3 x^{2} y^{2} y'$ जोड़ें.

$x y' + y + 3 x^{2} y^{2} y' = - 2 y^{3} x + 4 x$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$x y' + 3 x^{2} y^{2} y' = - 2 y^{3} x + 4 x - y$

चरण 5.3

$x y' + 3 x^{2} y^{2} y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' \cdot 1 + 3 x^{2} y^{2} y' = - 2 y^{3} x + 4 x - y$

चरण 5.3.2

$3 x^{2} y^{2} y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' \cdot 1 + x y' (3 x y^{2}) = - 2 y^{3} x + 4 x - y$

चरण 5.3.3

$x y' \cdot 1 + x y' (3 x y^{2})$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (1 + 3 x y^{2}) = - 2 y^{3} x + 4 x - y$

चरण 5.4

$x y' (1 + 3 x y^{2}) = - 2 y^{3} x + 4 x - y$ के प्रत्येक पद को $x (1 + 3 x y^{2})$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$x y' (1 + 3 x y^{2}) = - 2 y^{3} x + 4 x - y$ के प्रत्येक पद को $x (1 + 3 x y^{2})$ से विभाजित करें.

$\frac{x y' (1 + 3 x y^{2})}{x (1 + 3 x y^{2})} = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y' (1 + 3 x y^{2})}{x (1 + 3 x y^{2})} = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (1 + 3 x y^{2})}{1 + 3 x y^{2}} = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.2.2

$1 + 3 x y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (1 + 3 x y^{2})}{1 + 3 x y^{2}} = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{(2) y^{3}}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{4}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{4}{1 + 3 x y^{2}} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 2 y^{3} + 4}{1 + 3 x y^{2}} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.2.2

$- 2 y^{3} + 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.2.1

$- 2 y^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (- y^{3}) + 4}{1 + 3 x y^{2}} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.2.2.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (- y^{3}) + 2 (2)}{1 + 3 x y^{2}} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.2.2.3

$2 (- y^{3}) + 2 (2)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (- y^{3} + 2)}{1 + 3 x y^{2}} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.3

$\frac{2 (- y^{3} + 2)}{1 + 3 x y^{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{2 (- y^{3} + 2)}{1 + 3 x y^{2}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.4

प्रत्येक व्यंजक को $(1 + 3 x y^{2}) x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.4.1

$\frac{2 (- y^{3} + 2)}{1 + 3 x y^{2}}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$y' = \frac{2 (- y^{3} + 2) x}{(1 + 3 x y^{2}) x} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.4.2

$(1 + 3 x y^{2}) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y' = \frac{2 (- y^{3} + 2) x}{x (1 + 3 x y^{2})} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 (- y^{3} + 2) x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \frac{(2 (- y^{3}) + 2 \cdot 2) x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.6.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$y' = \frac{(- 2 y^{3} + 2 \cdot 2) x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.6.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y' = \frac{(- 2 y^{3} + 4) x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + 4 x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.7

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.7.1

$- 2 y^{3} x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (2 y^{3} x) + 4 x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.7.2

$4 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (2 y^{3} x) - (- 4 x) - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.7.3

$- (2 y^{3} x) - (- 4 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (2 y^{3} x - 4 x) - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.7.4

$- y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (2 y^{3} x - 4 x) - (y)}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.7.5

$- (2 y^{3} x - 4 x) - (y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (2 y^{3} x - 4 x + y)}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.7.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.7.6.1

$- (2 y^{3} x - 4 x + y)$ को $- 1 (2 y^{3} x - 4 x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1 (2 y^{3} x - 4 x + y)}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 5.4.3.7.6.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{2 y^{3} x - 4 x + y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{3} x - 4 x + y}{x (1 + 3 x y^{2})}$