कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

चरण 1

जांचें कि क्या $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $[1, 2]$ पर निरंतर है या नहीं, $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{1}{4 x}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$4 x = 0$

चरण 1.1.2

$4 x = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$4 x = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 1.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 1.1.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{4}$

चरण 1.1.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 1.1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

चरण 1.2

$f (x)$ $[1, 2]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ अवकलनीय है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{3}}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 2.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 2.1.1.2.3

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 2.1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 2.1.1.2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 2.1.1.2.5.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1

चूंकि $\frac{1}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{4 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 2.1.1.3.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 2.1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

चरण 2.1.1.3.4

$\frac{1}{4}$ और $x^{- 2}$ को मिलाएं.

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

चरण 2.1.1.3.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

चरण 2.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ है.

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

चरण 2.2

पता करें कि व्युत्पन्न $[1, 2]$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $[1, 2]$ पर निरंतर है या नहीं, $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$\frac{1}{4 x^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$4 x^{2} = 0$

चरण 2.2.1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

$4 x^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1.1

$4 x^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 2.2.1.2.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 2.2.1.2.1.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{0}{4}$

चरण 2.2.1.2.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1.3.1

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 0$

चरण 2.2.1.2.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 2.2.1.2.3

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.3.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.2.1.2.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 2.2.1.2.3.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.2.1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq 0}$

चरण 2.2.2

$f' (x)$ $[1, 2]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 2.3

फलन $[1, 2]$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $[1, 2]$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 3

चाप की लंबाई की गारंटी के लिए, फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न दोनों को बंद अंतराल $[1, 2]$ पर निरंतर होना चाहिए.

बंद अंतराल $[1, 2]$ पर फलन और उसका व्युत्पन्न निरंतर हैं.

चरण 4

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 4.2.2

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 4.2.3

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 4.2.4

$\frac{3}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 4.2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 4.2.5.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

चरण 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 4.3.3

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

चरण 4.3.4

$\frac{1}{4}$ और $x^{- 2}$ को मिलाएं.

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

चरण 4.3.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

चरण 5

किसी फलन की चाप लंबाई ज्ञात करने के लिए, सूत्र $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ का उपयोग करें.

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

चरण 6

समाकल का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

चरण 6.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 6.2.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

चरण 6.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

चरण 6.3

$(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

चरण 6.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

$x^{- 2}$ ले जाएं.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

चरण 6.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

चरण 6.4.1.3

$- 2$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

चरण 6.4.2

$x^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

चरण 6.5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

चरण 6.6

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

चरण 6.7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

चरण 6.8

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

चरण 6.9

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

चरण 6.10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.10.1

$2$ पर और $1$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

चरण 6.10.2

$2$ पर और $1$ पर $- x^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 6.10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.10.3.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 6.10.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 6.10.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 6.10.3.4

$8$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 6.10.3.5

$4$ और $\frac{7}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 6.10.3.6

$4$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 6.10.3.7

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

चरण 6.10.3.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

चरण 6.10.3.9

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

चरण 6.10.3.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

चरण 6.10.3.11

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

चरण 6.10.3.12

$\frac{28}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

चरण 6.10.3.13

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 6.10.3.14

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.10.3.14.1

$\frac{28}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 6.10.3.14.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 6.10.3.14.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

चरण 6.10.3.14.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

चरण 6.10.3.15

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

चरण 6.10.3.16

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.10.3.16.1

$28$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

चरण 6.10.3.16.2

$56$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

चरण 6.10.3.17

$\frac{1}{4}$ को $\frac{59}{6}$ से गुणा करें.

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

चरण 6.10.3.18

$4$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{59}{24}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{59}{24}$

दशमलव रूप:

$2.458\overline{3}$

मिश्रित संख्या रूप:

$2 \frac{11}{24}$

चरण 8