कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

चरण 1

जांचें कि क्या $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $[0, 1]$ पर निरंतर है या नहीं, $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

रेडिकैंड को $\sqrt{2 - x^{2}}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$2 - x^{2} \geq 0$

चरण 1.1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

असमानता के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- x^{2} \geq - 2$

चरण 1.1.2.2

$- x^{2} \geq - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

$- x^{2} \geq - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.1.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.1.2.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.1.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{2} \leq 2$

चरण 1.1.2.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए असमिका के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

चरण 1.1.2.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | \leq \sqrt{2}$

चरण 1.1.2.5

$| x | \leq \sqrt{2}$ को अलग-अलग लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

पहले अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, पता लगाएं कि निरपेक्ष मान के अंदर गैर-ऋणात्मक है.

$x \geq 0$

चरण 1.1.2.5.2

उस हिस्से में जहां $x$ गैर-ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें.

$x \leq \sqrt{2}$

चरण 1.1.2.5.3

दूसरे अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, यह पता लगाएं कि निरपेक्ष मान का आंतरिक भाग ऋणात्मक है.

$x < 0$

चरण 1.1.2.5.4

उस हिस्से में जहां $x$ ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें और $- 1$ से गुणा करें.

$- x \leq \sqrt{2}$

चरण 1.1.2.5.5

अलग-अलग रूप में लिखें.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

चरण 1.1.2.6

$x \leq \sqrt{2}$ और $x \geq 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

चरण 1.1.2.7

$- x \leq \sqrt{2}$ को हल करें जब $x < 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.7.1

$- x \leq \sqrt{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.7.1.1

$- x \leq \sqrt{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

चरण 1.1.2.7.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.7.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

चरण 1.1.2.7.1.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

चरण 1.1.2.7.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.7.1.3.1

ऋणात्मक को $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

चरण 1.1.2.7.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{2}$ को $- \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x \geq - \sqrt{2}$

चरण 1.1.2.7.2

$x \geq - \sqrt{2}$ और $x < 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

चरण 1.1.2.8

हलों का संघ ज्ञात करें.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

चरण 1.1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ $[0, 1]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ अवकलनीय है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$\sqrt{2 - x^{2}}$ को ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 2 - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 2.1.1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 2.1.1.9

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 2.1.1.10

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.1.11

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.1.1.12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

चरण 2.1.1.13

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.13.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

चरण 2.1.1.13.2

$- 2$ और $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

चरण 2.1.1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.1.1.13.4

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.1.1.14

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.14.1

$2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 2.1.1.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.1.1.14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.1.1.15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.2

पता करें कि व्युत्पन्न $[0, 1]$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $[0, 1]$ पर निरंतर है या नहीं, $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

चरण 2.2.1.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

चरण 2.2.1.2

$2 - x^{2} \geq 0$

चरण 2.2.1.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.1

असमानता के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- x^{2} \geq - 2$

चरण 2.2.1.3.2

$- x^{2} \geq - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.2.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

चरण 2.2.1.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

चरण 2.2.1.3.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

चरण 2.2.1.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.2.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{2} \leq 2$

चरण 2.2.1.3.3

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.3.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.4.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | \leq \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.3.5

$| x | \leq \sqrt{2}$ को अलग-अलग लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.5.1

$x \geq 0$

चरण 2.2.1.3.5.2

उस हिस्से में जहां $x$ गैर-ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें.

$x \leq \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.3.5.3

$x < 0$

चरण 2.2.1.3.5.4

उस हिस्से में जहां $x$ ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें और $- 1$ से गुणा करें.

$- x \leq \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.3.5.5

अलग-अलग रूप में लिखें.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

चरण 2.2.1.3.6

$x \leq \sqrt{2}$ और $x \geq 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.3.7

$- x \leq \sqrt{2}$ को हल करें जब $x < 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.7.1

$- x \leq \sqrt{2}$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.7.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

चरण 2.2.1.3.7.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.7.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

चरण 2.2.1.3.7.1.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

चरण 2.2.1.3.7.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.7.1.3.1

ऋणात्मक को $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.3.7.1.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{2}$ को $- \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x \geq - \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.3.7.2

$x \geq - \sqrt{2}$ और $x < 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

चरण 2.2.1.3.8

हलों का संघ ज्ञात करें.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.4

$\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

चरण 2.2.1.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

चरण 2.2.1.5.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.2.1

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 2.2.1.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.2.2.1

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.2.2.1.1

घातांक को ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 2.2.1.5.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

चरण 2.2.1.5.2.2.1.2

सरल करें.

$2 - x^{2} = 0^{2}$

चरण 2.2.1.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$2 - x^{2} = 0$

चरण 2.2.1.5.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- x^{2} = - 2$

चरण 2.2.1.5.3.2

$- x^{2} = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.3.2.1

$- x^{2} = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 2.2.1.5.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.3.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 2.2.1.5.3.2.2.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 2.2.1.5.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.3.2.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 2$

चरण 2.2.1.5.3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.5.3.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.3.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.5.3.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.5.3.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

चरण 2.2.1.6

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

चरण 2.2.2

$f' (x)$ $[0, 1]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 2.3

फलन $[0, 1]$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $[0, 1]$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 3

चाप की लंबाई की गारंटी के लिए, फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न दोनों को बंद अंतराल $[0, 1]$ पर निरंतर होना चाहिए.

बंद अंतराल $[0, 1]$ पर फलन और उसका व्युत्पन्न निरंतर हैं.

चरण 4

$f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.7.3

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

चरण 4.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 4.9

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 4.10

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 4.11

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 4.12

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

चरण 4.13

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

चरण 4.13.2

$- 2$ और $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

चरण 4.13.3

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.13.4

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

$2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 4.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

किसी फलन की चाप लंबाई ज्ञात करने के लिए, सूत्र $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

चरण 6