कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

चरण 1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

चरण 1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

चरण 2

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ को $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

चरण 2.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ का प्रसार करें.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

चरण 3

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

चरण 4

$x \ln (\frac{x + 1}{x})$ को $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

चरण 5

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

चरण 5.1.2

जैसे ही लघुगणक अनंत की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

चरण 5.1.3

चूँकि न्यूमेरेटर एक स्थिरांक है और भाजक $0$ की ओर एप्रोच करता है, जब $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, तो भिन्न $\frac{1}{x}$ अनंत की ओर एप्रोच करता है.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 5.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

चरण 5.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

चरण 5.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x + 1}{x}$ के रूप में सेट करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x + 1}{x}$ से बदलें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.3

$\frac{x + 1}{x}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.4

$\frac{x}{x + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.5

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = x$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.9

$1$ और $0$ जोड़ें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.10

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.11

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.12

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.13

$\frac{x}{x + 1}$ को $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.14

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.14.1

$(x + 1) x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.15.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.15.3.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.3.2

$0$ में से $1 \cdot 1$ घटाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.15.4.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.4.5

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.4.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.5

$x^{2} + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.15.5.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.5.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.5.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.15.5.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

चरण 5.3.16

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

चरण 5.3.17

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

चरण 5.3.18

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

चरण 5.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

चरण 5.5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

चरण 5.5.2

$\frac{1}{x (x + 1)}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

चरण 5.5.3

$\frac{1}{x (x + 1)}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

चरण 5.6

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

चरण 5.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

चरण 5.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x + 1}}$

चरण 6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

चरण 6.2

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

चरण 6.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

चरण 7

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

चरण 7.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{\frac{0}{0 + 1}}$

चरण 8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$0$ और $1$ जोड़ें.

$e^{\frac{0}{1}}$

चरण 8.2

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{0}$

चरण 9

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1$