कैलकुलस उदाहरण

$e^{2 y} - e^{y^{2} - y} = x^{4} - x^{2}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (e^{2 y} - e^{y^{2} - y}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - x^{2})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{2 y} - e^{y^{2} - y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{2 y}] + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{2 y}] + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [e^{2 y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

चरण 2.2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

चरण 2.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$e^{2 y} \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

चरण 2.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$e^{2 y} (2 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 y} (2 y') + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{y^{2} - y}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{y^{2} - y}]$ है.

$e^{2 y} (2 y') - \frac{d}{d x} [e^{y^{2} - y}]$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = y^{2} - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y^{2} - y$ के रूप में सेट करें.

$e^{2 y} (2 y') - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [y^{2} - y])$

चरण 2.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{2 y} (2 y') - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [y^{2} - y])$

चरण 2.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y^{2} - y$ से बदलें.

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} \frac{d}{d x} [y^{2} - y])$

चरण 2.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]))$

चरण 2.3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y]))$

चरण 2.3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ $n {u_{3}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y]))$

चरण 2.3.4.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y]))$

चरण 2.3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- y]))$

चरण 2.3.6

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y]$ है.

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (2 y y' - \frac{d}{d x} [y]))$

चरण 2.3.7

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 y} (2 y') - e^{y^{2} - y} (2 y y' - y')$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{2 y} (2 y') - e^{y^{2} - y} (2 y y') - e^{y^{2} - y} (- y')$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{2 y} (2 y') - 2 e^{y^{2} - y} (y y') - e^{y^{2} - y} (- y')$

चरण 2.4.2.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{2 y} (2 y') - 2 e^{y^{2} - y} (y y') + 1 e^{y^{2} - y} y'$

चरण 2.4.2.3

$e^{y^{2} - y}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{2 y} (2 y') - 2 e^{y^{2} - y} (y y') + e^{y^{2} - y} y'$

चरण 2.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 e^{2 y} y' - 2 e^{y^{2} - y} y y' + e^{y^{2} - y} y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4} - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 x^{3} - (2 x)$

चरण 3.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 x^{3} - 2 x$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 e^{2 y} y' - 2 e^{y^{2} - y} y y' + e^{y^{2} - y} y' = 4 x^{3} - 2 x$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

गुणनखंडों को $2 e^{2 y} y' - 2 e^{y^{2} - y} y y' + e^{y^{2} - y} y'$ में पुन: क्रमित करें.

$2 y' e^{2 y} - 2 y y' e^{y^{2} - y} + y' e^{y^{2} - y} = 4 x^{3} - 2 x$

चरण 5.2

$2 y' e^{2 y} - 2 y y' e^{y^{2} - y} + y' e^{y^{2} - y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2 y' e^{2 y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 e^{2 y}) - 2 y y' e^{y^{2} - y} + y' (e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

चरण 5.2.2

$- 2 y y' e^{y^{2} - y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 e^{2 y}) + y' (- 2 y e^{y^{2} - y}) + y' (e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

चरण 5.2.3

$y' e^{y^{2} - y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 e^{2 y}) + y' (- 2 y e^{y^{2} - y}) + y' (e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

चरण 5.2.4

$y' (2 e^{2 y}) + y' (- 2 y e^{y^{2} - y})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 e^{2 y} - 2 y e^{y^{2} - y}) + y' (e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

चरण 5.2.5

$y' (2 e^{2 y} - 2 y e^{y^{2} - y}) + y' (e^{y^{2} - y})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 e^{2 y} - 2 y e^{y^{2} - y} + e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

चरण 5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y' (- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

चरण 5.4

$y' (- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$ के प्रत्येक पद को $- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$y' (- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$ के प्रत्येक पद को $- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y})}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} = \frac{4 x^{3}}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} + \frac{- 2 x}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 5.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{4 x^{3}}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} + \frac{- 2 x}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$

चरण 5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{4 x^{3}}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} - \frac{2 x}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$

चरण 5.4.3.2

गुणनखंडों को $\frac{4 x^{3}}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} - \frac{2 x}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = \frac{4 x^{3}}{- 2 y e^{y^{2} - y} + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} - \frac{2 x}{- 2 y e^{y^{2} - y} + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3}}{- 2 y e^{y^{2} - y} + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} - \frac{2 x}{- 2 y e^{y^{2} - y} + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$