कैलकुलस उदाहरण

$\int (\frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)}) d x$

चरण 1

कोष्ठक हटा दें.

$\int \frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1}) \cdot 2} d u_{1}$

चरण 3.2

$2$ को $\cos (u_{1})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{2 \cos (u_{1})} d u_{1}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} d u_{1}$

चरण 5

मान लीजिए $u_{2} = \sin (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , तो $- d u_{2} = - \cos (u_{1}) d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{2} = \sin (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\sin (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

चरण 5.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1})$

चरण 5.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

चरण 6.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int 1 (1 + u_{2}) d u_{2}$

चरण 6.2

$1 + u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int 1 + u_{2} d u_{2}$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 10

सरल करें.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin^{2} (u_{1})) + C$

चरण 11.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{1}{2} \sin^{2} (2 x)) + C$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin^{2} (2 x)$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2}) + C$

चरण 12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

चरण 12.3

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

चरण 12.4

जोड़ना.

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1 \sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 12.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

$\sin^{2} (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 12.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{4} + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{4} \sin^{2} (2 x) + C$