कैलकुलस उदाहरण

$2 x^{3} y^{4} = \sqrt{x - y}$

चरण 1

$\sqrt{x - y}$ को ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 x^{3} y^{4} = {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} y^{4}) = \frac{d}{d x} ({(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 3

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3} y^{4}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}]$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y^{4}$ है.

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$2 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$2 (x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 (x^{3} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 3.4

$4$ को $x^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (4 \cdot x^{3} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + y^{4} (3 x^{2}))$

चरण 3.7

$3$ को $y^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + 3 \cdot y^{4} x^{2})$

चरण 3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (4 x^{3} y^{3} y') + 2 (3 y^{4} x^{2})$

चरण 3.8.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$8 (x^{3} y^{3} y') + 2 (3 y^{4} x^{2})$

चरण 3.8.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - y$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.6.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y]$

चरण 4.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

चरण 4.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

चरण 4.9

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

चरण 4.10

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - y')$

चरण 4.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.1

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - y')$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(1 - y') \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.11.2

$1 - y'$ को $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

दोनों पक्षों को $2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$(8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}) (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$(8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}) (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 x^{3} y^{3} y' (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + 6 y^{4} x^{2} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.2.1

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 x^{3} y^{3} y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 6 y^{4} x^{2} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$16 x^{3} y^{3} y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2.3

$y^{3}$ ले जाएं.

$16 x^{3} y' y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2.4

$x^{3}$ ले जाएं.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2.5

$y^{4}$ ले जाएं.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$\frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.2.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.2.2.1.3

${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.2.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 1 - y'$

चरण 6.2.2.1.4

$1$ और $- y'$ को पुन: क्रमित करें.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = - y' + 1$

चरण 6.3

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y'$ जोड़ें.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' = 1$

चरण 6.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ घटाएं.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3.3

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3.3.2

$y'$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3.3.3

${y'}^{1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot 1 = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3.3.4

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot 1$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3.4

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ के प्रत्येक पद को $16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.4.1

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ के प्रत्येक पद को $16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} = \frac{1}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} + \frac{- 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

चरण 6.3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 6.3.4.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{1}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} + \frac{- 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

चरण 6.3.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

चरण 7

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$