कैलकुलस उदाहरण

$h (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}}$

चरण 1

फलन $H (x)$ को व्युत्पन्न $h (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$H (x) = \int h (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$H (x) = \int \frac{6 x^{2} + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

चरण 3

$6 x^{2} + 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$6 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

चरण 3.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (1)}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

चरण 3.3

$2 (3 x^{2}) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{3 x^{2} + 1}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = x^{3} + x + 1$ .फिर $d u = (3 x^{2} + 1) d x$ , तो $\frac{1}{3 x^{2} + 1} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = x^{3} + x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x^{3} + x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + x + 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} + 1 + 0$

चरण 5.1.6

$3 x^{2} + 1$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2} + 1$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 6

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 6.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 6.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 6.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 6.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ को $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{3} + x + 1$ से बदलें.

$4 {(x^{3} + x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

चरण 10

उत्तर फलन $h (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}}$ का व्युत्पन्न है.

$H (x) =$ $4 {(x^{3} + x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$