कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

चरण 1

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x^{\sqrt{x}}$ को $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

चरण 1.2

$\sqrt{x}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{\sqrt{x}})$ का प्रसार करें.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

चरण 2

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

चरण 3

$\sqrt{x} \ln (x)$ को $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

चरण 4

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

चरण 4.1.2

जैसे-जैसे $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, $\ln (x)$ बिना किसी सीमा के कम हो जाता है.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

चरण 4.1.3

चूंकि न्यूमेरेटर धनात्मक है और भाजक $\sqrt{x}$ शून्य के करीब पहुंचता है और $x$ के लिए $0$ के पास दाईं ओर शून्य से अधिक है, फलन बिना सीमा के बढ़ता है.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

चरण 4.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

चरण 4.2

चूंकि $\frac{- \infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

चरण 4.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

चरण 4.3.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

चरण 4.3.3

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

चरण 4.3.4

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

चरण 4.3.5

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

चरण 4.3.5.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

चरण 4.3.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

चरण 4.3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{1}{2}$ है.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

चरण 4.3.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

चरण 4.3.8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

चरण 4.3.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

चरण 4.3.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

चरण 4.3.10.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

चरण 4.3.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

चरण 4.3.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.12.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

चरण 4.3.12.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.12.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

चरण 4.3.12.2.2

$2$ को $x^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

चरण 4.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.5

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.5.2

$- 2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.5.3

$\frac{- 2}{x}$ और $x^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

चरण 4.6

कम करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$- 2 x^{\frac{3}{2}}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

चरण 4.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

चरण 4.6.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

चरण 4.6.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

चरण 4.6.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

चरण 4.6.2.5

$- 2 x^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $\frac{1}{2}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 7.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 7.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

चरण 7.1.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$e^{- 2 \cdot 0}$

चरण 7.1.5

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{0}$

चरण 7.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1$