कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{\cos (x)}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\cos (x)})$

चरण 2

$\cos (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{\cos (x)})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (x)$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (x)$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\cos (x) \ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

चरण 3.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 3.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 3.2.4

$\cos (x)$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 3.2.5

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))$

चरण 3.2.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y'}{y} = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}) x^{\cos (x)}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{x} x^{\cos (x)}$

चरण 5.2

$\frac{\cos (x)}{x}$ और $x^{\cos (x)}$ को मिलाएं.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x)}}{x}$

चरण 5.3

$x^{\cos (x)}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$\cos (x) x^{\cos (x)}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x}$

चरण 5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x^{1}}$

चरण 5.3.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

चरण 5.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

चरण 5.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x) - 1}}{1}$

चरण 5.3.2.5

$\cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$

चरण 5.4

गुणनखंडों को $- \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = - x^{\cos (x)} \sin (x) \ln (x) + x^{\cos (x) - 1} \cos (x)$