कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x \sqrt{x - a}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{x - a}$ को ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x - a$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - a$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - a$ से बदलें.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - a$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ है.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.11

चूंकि $x$ के संबंध में $- a$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- a$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.12.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.12.2

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.13

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

चरण 1.1.14

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.15

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.16

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.17

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.18

घातांक जोड़कर ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.18.1

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.18.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.18.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.18.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.18.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.19

${(x - a)}^{1} \cdot 2$ को सरल करें.

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.20

$2$ को $x - a$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.21

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.21.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.21.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.21.2.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.21.2.2

$x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.21.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.21.4

$- 2 a$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.21.5

$3 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.21.6

$- (2 a) - (- 3 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.21.7

$- (2 a - 3 x)$ को $- 1 (2 a - 3 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.21.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 a - 3 x = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 a$ घटाएं.

$- 3 x = - 2 a$

चरण 2.3.2

$- 3 x = - 2 a$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$- 3 x = - 2 a$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

चरण 2.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

चरण 2.3.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

चरण 2.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$x = \frac{2 a}{3}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $x \sqrt{x - a}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = \frac{2 a}{3}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{2 a}{3}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$(\frac{2 a}{3}) \sqrt{(\frac{2 a}{3}) - a}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- a$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} - a \cdot \frac{3}{3}}$

चरण 4.1.2.2

$- a$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} + \frac{- a \cdot 3}{3}}$

चरण 4.1.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a - a \cdot 3}{3}}$

चरण 4.1.2.4

$\frac{2 a - a \cdot 3}{3}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1

$2 a - a \cdot 3$ में से $a$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.4.1.1

$2 a$ में से $a$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 - a \cdot 3}{3}}$

चरण 4.1.2.4.1.2

$- a \cdot 3$ में से $a$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)}{3}}$

चरण 4.1.2.4.1.3

$a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)$ में से $a$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 1 \cdot 3)}{3}}$

चरण 4.1.2.4.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 3)}{3}}$

चरण 4.1.2.4.3

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot - 1}{3}}$

चरण 4.1.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.5.1

$- 1$ को $a$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{- 1 \cdot a}{3}}$

चरण 4.1.2.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}$

चरण 4.1.2.6

$\frac{2 a}{3}$ और $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

चरण 4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(\frac{2 a}{3}, \frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3})$

चरण 5