एलजेब्रा उदाहरण

$f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{0.5 x}) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 0.5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $0.5 x$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

चरण 1.1.2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

चरण 1.1.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $0.5 x$ से बदलें.

$f' (x) = e^{0.5 x} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $0.5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $0.5 x$ का व्युत्पन्न $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

चरण 1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

चरण 1.1.2.4

$0.5$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

चरण 1.1.2.5

$0.5$ को $e^{0.5 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $64$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $64 e^{- 0.5 x}$ का व्युत्पन्न $64 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ है.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x})$

चरण 1.1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 0.5 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 0.5 x$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

चरण 1.1.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

चरण 1.1.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 0.5 x$ से बदलें.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

चरण 1.1.3.3

चूंकि $- 0.5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 0.5 x$ का व्युत्पन्न $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x))$

चरण 1.1.3.4

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

चरण 1.1.3.5

$- 0.5$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

चरण 1.1.3.6

$- 0.5$ को $e^{- 0.5 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

चरण 1.1.3.7

$- 0.5$ को $64$ से गुणा करें.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ है.

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$

चरण 2.2

$- 32 e^{- 0.5 x}$ को दोनों पक्षों में जोड़कर समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ.

$0.5 e^{0.5 x} = 32 e^{- 0.5 x}$

चरण 2.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

चरण 2.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$\ln (0.5 e^{0.5 x})$ को $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

चरण 2.4.2

$0.5 x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{0.5 x})$ का प्रसार करें.

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

चरण 2.4.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

चरण 2.4.4

$0.5$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

चरण 2.5

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$\ln (32 e^{- 0.5 x})$ को $\ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$

चरण 2.5.2

$- 0.5 x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- 0.5 x})$ का प्रसार करें.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \ln (e)$

चरण 2.5.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \cdot 1$

चरण 2.5.4

$- 0.5$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x$

चरण 2.6

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (0.5) - \ln (32) = - 0.5 x - 0.5 x$

चरण 2.7

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{0.5}{32}) = - 0.5 x - 0.5 x$

चरण 2.8

$0.5$ को $32$ से विभाजित करें.

$\ln (0.015625) = - 0.5 x - 0.5 x$

चरण 2.9

$- 0.5 x$ में से $0.5 x$ घटाएं.

$\ln (0.015625) = - 1 x$

चरण 2.10

चूंकि $x$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$- 1 x = \ln (0.015625)$

चरण 2.11

$- 1 x = \ln (0.015625)$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

$- 1 x = \ln (0.015625)$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

चरण 2.11.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.2.1

$- 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.2.1.1

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

चरण 2.11.2.1.2

$- 1 (1) x$ में से $1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

चरण 2.11.2.1.3

ऋणात्मक को $\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

चरण 2.11.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.2.2.1

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ को $- (- 1 \cdot 1 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

चरण 2.11.2.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

चरण 2.11.2.2.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$- - x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

चरण 2.11.2.3

$- - x$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

चरण 2.11.2.3.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

चरण 2.11.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{\ln (0.015625)}{1}$

चरण 2.11.3.2

$\ln (0.015625)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = - \ln (0.015625)$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- \ln (0.015625)$ हैं.

$- \ln (0.015625)$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$ है.

$(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - \ln (0.015625))$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $3.15888308$ से बदलें.

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{0.5 (3.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0.5$ को $3.15888308$ से गुणा करें.

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{1.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

चरण 5.2.1.2

$0.5$ को $e^{1.57944154}$ से गुणा करें.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

चरण 5.2.1.3

$- 0.5$ को $3.15888308$ से गुणा करें.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 1.57944154}$

चरण 5.2.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 \frac{1}{e^{1.57944154}}$

चरण 5.2.1.5

$- 32$ और $\frac{1}{e^{1.57944154}}$ को मिलाएं.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 + \frac{- 32}{e^{1.57944154}}$

चरण 5.2.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{e^{1.57944154}}$

चरण 5.2.1.7

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{{2.71828182}^{1.57944154}}$

चरण 5.2.1.8

$2.71828182$ को $1.57944154$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{4.85224527}$

चरण 5.2.1.9

$32$ को $4.85224527$ से विभाजित करें.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 1 \cdot 6.59488508$

चरण 5.2.1.10

$- 1$ को $6.59488508$ से गुणा करें.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 6.59488508$

चरण 5.2.2

$2.42612263$ में से $6.59488508$ घटाएं.

$f' (3.15888308) = - 4.16876244$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 4.16876244$ है.

$- 4.16876244$

चरण 5.3

$x = 3.15888308$ पर व्युत्पन्न $- 4.16876244$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - \ln (0.015625))$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - \ln (0.015625))$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \ln (0.015625), \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $5.15888308$ से बदलें.

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{0.5 (5.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$0.5$ को $5.15888308$ से गुणा करें.

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{2.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

चरण 6.2.1.2

$0.5$ को $e^{2.57944154}$ से गुणा करें.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

चरण 6.2.1.3

$- 0.5$ को $5.15888308$ से गुणा करें.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 2.57944154}$

चरण 6.2.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 \frac{1}{e^{2.57944154}}$

चरण 6.2.1.5

$- 32$ और $\frac{1}{e^{2.57944154}}$ को मिलाएं.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 + \frac{- 32}{e^{2.57944154}}$

चरण 6.2.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{e^{2.57944154}}$

चरण 6.2.1.7

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{{2.71828182}^{2.57944154}}$

चरण 6.2.1.8

$2.71828182$ को $2.57944154$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{13.18977016}$

चरण 6.2.1.9

$32$ को $13.18977016$ से विभाजित करें.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 1 \cdot 2.42612263$

चरण 6.2.1.10

$- 1$ को $2.42612263$ से गुणा करें.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 2.42612263$

चरण 6.2.2

$6.59488508$ में से $2.42612263$ घटाएं.

$f' (5.15888308) = 4.16876244$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $4.16876244$ है.

$4.16876244$

चरण 6.3

$x = 5.15888308$ पर व्युत्पन्न $4.16876244$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \ln (0.015625), \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \ln (0.015625), \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \ln (0.015625), \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - \ln (0.015625))$

चरण 8