एलजेब्रा उदाहरण

$x^{4} - 13 x^{2} + 36$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = 2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 - 13 {(2)}^{2} + 36$

चरण 4.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 - 13 \cdot 4 + 36$

चरण 4.1.3

$- 13$ को $4$ से गुणा करें.

$16 - 52 + 36$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$16$ में से $52$ घटाएं.

$- 36 + 36$

चरण 4.2.2

$- 36$ और $36$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{4} - 13 x^{2} + 36}{x - 2}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(2)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$
	$1$	$2$

चरण 6.5

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(4)$ के परिणाम को भाज्य $(- 13)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

चरण 6.6

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$- 9$

चरण 6.7

परिणाम $(- 9)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(- 18)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$
	$1$	$2$	$- 9$

चरण 6.8

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$

चरण 6.9

परिणाम $(- 18)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(- 36)$ के परिणाम को भाज्य $(36)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$	$- 36$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$

चरण 6.10

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$	$- 36$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 9) x - 18$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$

चरण 7

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2}) - 9 x - 18$

चरण 7.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x - 2) + x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$

$(x - 2) x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$

चरण 8

महत्तम समापवर्तक, $x + 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 9)$

चरण 9

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 3^{2})$

चरण 10

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 3$ .

$(x - 2) + (x + 2) ((x + 3) (x - 3))$

चरण 10.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x - 2) + (x + 2) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 2) (x + 2) (x + 3) (x - 3)$

चरण 11

समीकरण में $u = x^{2}$ प्रतिस्थापित करें. इससे द्विघात सूत्र का उपयोग करना आसान हो जाएगा.

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

चरण 12

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 13 u + 36$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $36$ है और जिसका योग $- 13$ है.

$- 9, - 4$

चरण 12.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

चरण 13

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

चरण 14

$u - 9$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u - 9$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 9 = 0$

चरण 14.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $9$ जोड़ें.

$u = 9$

चरण 15

$u - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$u - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 4 = 0$

चरण 15.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$u = 4$

चरण 16

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(u - 9) (u - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = 9, 4$

चरण 17

हल किए गए समीकरण में $u = x^{2}$ के वास्तविक मान को वापस प्रतिस्थापित करें.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = 4$

चरण 18

$x$ के लिए पहला समीकरण हल करें.

$x^{2} = 9$

चरण 19

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{9}$

चरण 19.2

$\pm \sqrt{9}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

चरण 19.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 3$

चरण 19.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 3$

चरण 19.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 3$

चरण 19.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 3, - 3$

चरण 20

$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दूसरा समीकरण हल करें.

${(x^{2})}^{1} = 4$

चरण 21

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

कोष्ठक हटा दें.

$x^{2} = 4$

चरण 21.2

$x = \pm \sqrt{4}$

चरण 21.3

$\pm \sqrt{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.3.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

चरण 21.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 2$

चरण 21.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2$

चरण 21.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2$

चरण 21.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2, - 2$

चरण 22

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ का हल $x = 3, - 3, 2, - 2$ है.

$x = 3, - 3, 2, - 2$

चरण 23